数学课堂教学重点的合理定位与实现

●吴增生 (仙居县教育局教研室 浙江仙居 317300)

1 数学课堂教学重点定位中的主要问题

在很多课堂中，教学重点的定位出现明显的偏差，导致了课堂学习时间的无谓浪费，降低了学生课堂学习的效率，其主要表现是：

1.1 平铺直叙，没有重点

没有进行系统设计，只对教材进行粗浅解释，这种情况在新教师身上表现较多.例如，在人教版新课标实验教材7年级上册“单项式”教学中，教师按照教材内容让学生用含字母的算式表示若干问题中的数量关系，讲述这些式子都是由数或表示数的字母相乘得到的积，给出单项式的概念，然后让学生做“判断是否是单项式”的练习;接着，介绍单项式系数和次数的概念，让学生做“找单项式系数和次数”的练习.教师没有设计合理的学习活动，让学生经历用数值算式和字母算式表示数量关系、从数值算式到字母算式的抽象过程;也没有设计活动，让学生从观察式子的运算结构中形成单项式的概念.缺少了知识的形成过程，把大量的时间用在了“判断是否是单项式”和“找单项式的系数和次数”练习上.没有重点的课堂教学，变成了习题课，杂乱拼凑，没有主题，索然无味，容易疲劳.

1.2 只见树木，不见森林

第一阶段的不等号认识可以为第二阶段的列不等式提供知识支撑，此外，各阶段的教学重点没有互相联系，不能形成支撑某一核心教育价值的相互融合和相互协调的关系.观察整堂课，没有体现学习活动的相互联系，没有体现“前面的学习活动是后面学习活动的基础，后面的学习活动是前面的学习活动的自然延伸和发展”，缺乏课堂的整体性和层次性.

1.3 本末倒置，重点错位

不同的学习内容承载着不同的核心教育价值，某些课中的重点在另外的课中不见得是重点.而教师在教学设计时往往把其他学习内容的重点确定为当前学习内容的重点，导致教学重点设置的偏差;还有一种情况是：关注一些细枝末节而忽视学习内容的核心价值，忽视大智慧，纠结小技巧，造成教学重点设计的错位.例如，在“等腰三角形的性质和判定”基础复习课中，教师把方程思想、分类讨论思想作为达成发展性学习目标的教学重点，而没有把发展空间观念、几何直观和推理能力作为达成发展性目标的教学重点，从而导致了课堂设计重心的偏离.再如，在浙教版新课标实验教材8年级上册“认识不等式”教学中，教师设计诸如“6≤7，7≥7”的不等式让学生判断是否正确，学生在做练习“选择适当的不等号填空：2 ____3”时，选择了“≤”而非正确的“＜”.教师给出了绝对不等式、矛盾不等式、条件不等式来描述现实生活中的数量关系，事实上，用数轴描述简单不等式的学习活动时间不到10分钟.

2 合理定位课堂教学重点

教学重点的合理定位需要建立在理解数学、理解数学课程和把握学情的基础上.

(1)所谓理解数学，指的是理解学习内容的数学本质属性，理解学习内容在初等数学乃至现代数学中的地位与作用，理解相关知识的逻辑体系及相互联系，理解学习内容的特点和价值.例如，不等式建立在数的大小比较的基础上，是现代数学中序结构研究的基本出发点，现代数学中的序关系是在不等关系基础上的抽象.不等式与等式具有相似性，不等式在科学和生活中具有广泛的应用.不等关系往往涉及到范围和区域，而相等关系则是不等关系所代表的范围和区域的边界，因此，相等关系是瞬时的、特殊的，而不等关系则是普遍的.不等式是描述现实生活中数量关系的重要模型，通过不等式的学习，可以让学生对数量关系有更全面地认识，体会不等式的应用价值.

(2)所谓理解数学课程，主要指的是把握课程标准对学习内容的目标要求，理解学习内容在学生发展中的核心教育价值.例如，课程标准中不等式相关学习内容的学习目标是：

倪二泉的掌心，卷成小纸筒一样的照片，慢慢舒展开来，却是菊花那张不知道被传阅了多少次、接受了多少抚摸与欣赏的照片！

①结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质.

②能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集;会用数轴确定由2个一元一次不等式组成的不等式组的解集.

③能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题.

④经历用不等式表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识.

⑤在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值.

由此可见，在不等式概念学习中的基础性目标是：结合具体问题，了解不等式的意义;会用数轴表示不等式的解集;能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式.发展性目标是：经历用不等式表示具体问题中的数量关系的过程，体会不等式是描述数量关系的重要模型;体会不等式的抽象性和应用广泛的特点;体会不等式的应用价值.不等式概念的核心教育价值是：在具体问题中了解不等式关系及不等式的意义，会用数轴表示不等式解的取值范围，会根据实际问题中的数量关系列不等式，初步体会不等式是描述实际问题中数量关系的区别于方程的另一重要模型.因此，初中阶段不等式概念教学的重点是：用(条件)不等式表示具体问题中的不等关系，用数轴表示不等式的解集.数值不等式是小学学习的内容，把教学重点放在数值不等式是忽视了初中与小学学段学习不等式的认知水平的差异，把教学重点放在介绍绝对不等式、矛盾不等式，则超越了学生的现有认知发展水平.

(3)所谓把握学情，指的是明确学生学了什么，会了什么，是否具有学习本内容的知识经验基础;学生学习本内容的一般过程怎样;怎样的学习活动是最有效的学习活动;通过学习，核心教育价值可能实现到什么程度.例如，小学一年级就开始有大小比较的学习，非负数值大小比较的学习，伴随着小学数学学习的全过程.在有理数、实数学习中，又经历了有理数、实数的大小比较，用数轴上点的位置关系描述(右边的数比左边的数大).因此，数值不等式是先前的学习内容，不是当前学习的重点内容，当前学习中的核心任务是讨论含有未知数的不等式(条件不等式).学习不等式最有效的方法是与学习等式(方程)相比较，从比较相同点和不同点中获得不等式意义的理解.

数学课堂教学的重点是落实学习内容的核心教育价值，以实现核心教育价值为中心，设计课堂中的主题学习活动，以主题学习活动为中心，进行适当的横向拓展和纵向提升，兼顾非核心目标的达成，形成重点突出、层次清楚、协调平衡的课堂时空结构.这种合理定位教学重点的过程可以用图1表示.

在确定教学重点时还应注意以下2点：

(1)分别确定基础性目标和发展性目标的教学重点，并进行统筹协调，整合出本课的教学重点.在知识形成过程中着重体现发展学生数学认知能力的重点，如数学感知能力、表征能力、抽象概括能力、推理计算能力.在知识的应用过程中着重发展基本结构的识别能力和建构能力以及运用知识进行推理计算的能力，分析问题和解决问题的能力.

(2)数学课堂中的教学重点应少而精.一般来讲，一节课的教学重点最多不超过2个(基础性目标和发展性目标各1个).由于学习目标往往有多个，有时还难以取舍，这就意味着必须选择最重要且达成可能性较大者作为核心目标，形成教学重点，并且对重点目标达成条件和达成的状态进行具体描述，明确在什么条件下能达到什么程度，为主题学习活动的设计提供依据.如果确定的教学重点太多，从整堂课来看就显得没有重点，在课堂有限的学习时间内，能达成1～2个核心教育价值即可.

3 合理设计教学活动，有效实现教学重点

数学课堂核心教育价值的实现，需要设计有针对性的学习活动，有充分的认知活动空间和时间.如果没有相应的学习活动，或者活动的空间和时间不足，则“落实核心教育价值、体现教学重点”就成为一句空话.例如，如果离开了用不等式表示实际问题中的数量关系，则落实“在具体问题中了解不等式的意义”这一教学重点就成为无根之木、无源之水，成为“空”的重点.那么，怎样设计有针对性的学习活动，设置充分的空间和时间体现教学重点呢?

图1

(1)以教材核心知识的形成和应用为基本线索，创设有针对性的学习认知活动.例如，函数的一般概念教学的教学重点是函数的概念，为减低学生的学习难度，人教版教材和浙教版教材都在前面设置了变量与常量的学习内容，人教版叫“变量”，浙教版叫“变量与常量”.变量与常量是函数这一核心概念的辅助性学习内容.变量与常量概念中，变量是核心概念，确定变量并用字母和含字母的式子表示变量及其关系是函数建模的基础，而常量概念在后继学习中的重要性比变量概念要逊色得多.变量与常量是基于变化过程的，因此，在具体的问题情境中理解变量与常量的概念是教学重点，而这一教学重点需要的是在实际的变化过程中的数量属性(变与不变)的理解，而非某一具体函数解析式中变量与常量的辨别.但不幸的是，很多教师设计了要求学生判断函数解析式中的变量和常量的练习，并拼命深挖，编制出相关练习，通过这些练习达成理解变量常量概念这一教学重点.如“指出下列函数中的变量和常量：y=4x，y=-x2+5x，s=πr2”等等.用这种纯式子的判断练习来实现“在具体问题中了解变量的意义”这一教学重点是不可能的，原因是：

①函数解析式是对函数关系的代数描述，是在已知变量、常量的基础上对函数关系的代数解释，因此，在解析式中找变量和常量，从逻辑上看是毫无意义的.

②离开了实际意义，说不清常量和变量是什么.例如式子y=4x+1，既可以表示一个二元一次方程，也可以表示一次函数，只有在认定x，y是变量的前提下，该式才表示一次函数.再如，在y=-x2+5x中，常量是什么?很难分清.很多教师想当然地把-1，5说成是常量，试想，如果把式子变成y=x(5-x)，常量又是什么?在“周长为10的变化的矩形中，一边长为x，面积为y”中，边长x和面积y是变量，周长10是常量.

③离开了变化过程讲变量与常量，与教学重点“在具体的变化过程中了解变量的意义”是不匹配的.要在具体的变化过程中了解变量的意义，需要让学生分析变化过程中的数量变化和对应关系，让学生观察变化过程从而获得对变量的变化规律的理解，让学生用适当的方法描述变量及其关系，感受变量的对应关系，从而为理解函数概念打下坚实的基础，也在学习过程中积累函数建模的经验.

(2)在匹配的数学学习活动中，把教学重点转化为认知操作任务系列，为达成核心教育价值设置合理必要的空间和时间.例如，在本文前述的“认识不等式”教学中，教学重点是“在具体问题中了解不等式的意义，会用数轴表示简单的不等式解集”，那么就需要设置让学生用不等式表示实际问题中的数量关系(从简单到复杂)，如“用不等式表示2个人的身高关系”、“用不等式表示跷跷板状态”、“用不等式表示公路的限速标志”等，通过实际问题中的不等关系让学生认识不等号和不等式.接着，设置“用数轴表示2个具体的数的大小关系、2个抽象的数的大小关系以及不等式x＞a，x＜a，x≥a，x≤a，a ＜x＜b，a≤x＜b”的任务，让学生从具体到抽象地学习这些简单不等式的数轴表示方法，体会简单的数形结合思想.在此基础上，设置用不等式表示实际问题中的数量关系，学习列不等式的基本方法，体会不等式是描述数量关系的重要模型，结合数轴，直观地确定简单实际问题中的不等式成立的未知数取值范围.通过用不等式表示具体问题中的数量关系任务和用数轴表示简单不等式解集的任务，体现教学重点，实现本学习内容的核心教育价值.再如，在“等腰三角形的性质和判定复习”中，教学的重点应该是“通过学生独立回顾知识和组织知识，优化知识结构，通过运用性质判定解决问题，发展空间观念、几何直观和推理能力”，那么就需要设计知识的回顾与组织活动，设置独立的知识回顾和组织任务，来达成优化知识结构的目的.通过设置从等腰三角形结构单一到结构组合与结构隐含的练习，让学生体会等腰三角形这一基本图形的辨别、构造和变化，发展空间观念和几何直观，并通过运用等腰三角形的性质和判定进行推理计算的练习，发展推理能力.方程思想和分类讨论是初中数学中的重要思想，但不是本课的教学重点，因此，不能花很多时间进行说明，只要在少量具体问题中渗透即可.