2道绝对值竞赛题解法初探

●徐 勇 印琴红 (板浦高级中学 江苏连云港 222241)

笔者在浏览2011年高中数学竞赛试题时，发现2道绝对值试题，题中绝对值嵌套绝对值，甚是有趣，下面给出这2道竞赛题的求解历程，以供参考.

例1 方程||…|||x|-1|-2|…|-2 011|=2 011一共有______个解.

(2011年全国高中数学联赛广东省预赛试题)

思路1 特殊引路，归纳猜想.

解法1 方程||x|-1|=1的所有解为x=0或x=±2;

方程|||x|-1|-2|=2的所有解为x=±1或x=±5;

方程||||x|-1|-2|-3|=3的所有解为x=±3或x=±9;

方程|||||x|-1|-2|-3|-4|=4的所有解为x=±6或x=±14;

方程||||||x|-1|-2|-3|-4|-5|=5的所有解为x=±10或x=±20;

……

思路2 从外向内，逐步击破.

解法2 因为||…|||x|-1|-2|…|-2 011|=2 011，所以

例2 已知n是正整数，实数x满足|1-|2-|3-…|(n-1)-|n-x||…|||=x，求x的值.

(第7届北方数学奥林匹克邀请赛试题)

思路1 特殊导航，归纳猜想.

当 n=3 时，方程|1-|2-|3-x|||=x的解为 x∈［0，1］;

当 n=4时，方程|1-|2-|3-|4-x||||=x的解为 x∈［0，1］;

当 n=6 时，方程|1-|2-|3-|4-|5-|6-x||||||=x的解为 x∈［0，1］;

……

思路2 巧取特征，模式识别.

解法2 引理1 若 a≥0，b≥0，则|a-b|≤max{a，b}.

引理2 若0≤x＜k，则|(k-1)-x|≤k-1.

引理3 若0≤x≤1，k∈N*，则|k-|k+1-|k+2-|k+3-x||||=x.

由引理1知，若 x≥n，则

若n=4k+1或n=4k+2(k∈N)，由引理3，原方程化简为|1-x|=x，解得x=;若n=4k+3或n=

4k(k∈N)，由引理 3，原方程化简为|x|=x，又因为 x≤1，所以 0≤x≤1.

点评 2道竞赛题貌似相同，实质迥异.例1较为简单，而例2难度颇大.例2作为压轴大题，运用思路1，由特殊到一般，缺乏严谨的推理过程，客观题尚可，解答题并不适合.认清题目的结构特征往往是解题的突破口，即看出题目中的某些部分与已知模式结构的相似性.辨认的过程就是“模式识别”的过程.本着公平的原则，竞赛回避熟题，大量“非标准问题”进入竞赛试卷.所谓“非标准问题”，即指那些表面的事实内容与内在的数学结构不一致的问题.实践表明，面对这些“非标准问题”，考生往往不知所措.实际上，解决“非标准问题”的重要环节就是“模式识别”，即破解隐含在问题中的数学结构和模式.