从两节 “同课异构”课的对比看数学教学中的发现过程

惠丹妮，黄小津

一、引言

“同课异构”对比分析是就学科中同一教学内容，由两位或两位以上教师根据各自不同的教学设计方案，分别在两个或两个以上同水平班级授课，听课后所进行的比较性研究[1]。在“同课异构”活动中，虽然教学内容相同，由于教学理念不同，导致教学设计差异，引起教学效果的差异。而发现过程指的是在教师引导下，学生利用资料或情境自觉地主动地探索，从而不断发现问题和解决问题，培养独立思考能力的一种教学过程。《数学课程标准》课程实施建议明确指出：“教学应该结合具体的教学内容采用‘问题情境—建立模型—解释、应用与拓展’模式展开，让学生经历知识的形成与应用过程。”充分体现了数学教学中发现过程的重要地位。本文通过对两节“同课异构”课中两位数学教师对同一内容完全不同的教学过程全面的对比分析，来探讨中学数学教学中发现过程的有效性。

二、教学背景介绍及教学片段对比分析

两节“同课异构”课的教学内容是北师大版高中数学必修二第一章第六节第一课时垂直关系的判定。《课程标准》指出本节课学习目标是：通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判定定理；能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。两节课的教学对象为高一年级同等层次的两个班级。两位教师都是高一年级数学教师。第一位教师（A）和第二位数学教师（B），均在各自班级上同样的课，对学生情况非常熟悉。

（一）教学片段1的对比

上课铃响后，教师A进入教室，打开多媒体，将旗杆垂直于地面的图片展示给学生，让学生观察，接着对学生提出三个问题：

(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？

(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?

(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线的位置关系如何?

学生齐声回答问题。接着教师A给出本节课的直线与平面垂直的定义。

在这个过程中，可以说是由问题情境引入的，学生的注意力集中，在回答完问题后，打开课本，准备学习。

上课铃声响后，教师B进入教室，打开多媒体，把本节课的标题呈现到多媒体上，同时对学生说：“同学们，这节课我们一起来探究垂直关系，那么在我们生活中有哪些垂直关系？”学生回答问题，举例如旗杆与地面、暖气管道与地面、人体直立时和地面等等。老师拿起课本，将它直立在讲桌上说：“同学们举得例子都非常好，现在我们拿一个小模型来研究研究。大家看书脊和桌面是否垂直？”学生开始动手摆课本，然后回答。教师B接着发问：“把书脊看做直线，桌面看做平面，书页与桌面的交线看做平面上的直线，他们之间有什么关系？”学生看书本模型，并迅速回答。课堂气氛十分活跃。教师请学生总结自己的发现。

在引课部分，教师A与教师B均注意到了生活中实例的运用，相比较而言，教师A引课用时少，学生注意力集中，但参与度低，以教师讲授为主。教师B引课部分用时较多，学生参与度更高，加入具体模型感知，学生处于主体地位。

（二）教学片段2的对比

教师A在引入新课后，在多媒体上显示以下两个辨析题：

如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。

如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？

学生对于辨析?意见不统一，教师A讲解。对于辨析?回答正确。教师A再次强调定义。

整个过程学生认真记笔记，学生虽然有发言，但是与教师之间的互动和交流很少。作为对定义的加深理解，教师A通过辨析题的形式，逻辑严谨，课堂依旧以教师的教为主。

教师B在学生总结自己的发现后，归纳出直线与平面垂直的定义。同时将一支粉笔放在书本旁与书页不接触，问学生是否与书脊垂直。学生用笔跟着做，发现将笔平行移动即可得书脊与笔垂直。教师B总结：“在这个过程中，我们再次验证了一条直线垂直于一个平面那么它与平面内所有的直线都垂直。除此之外，在平移的过程中，可以给我们什么启示？”学生讨论后答，如果两直线垂直，那么一条直线与另一条的平行线也垂直。教师B在多媒体上显示：如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。让学生辨析。学生迅速给出答案。

这个过程中，学生动手动脑，显得非常活跃，课堂气氛活泼。学生学习主动性强，由引课部分自然过渡到对定义的进一步探究，学生通过具体感知，这对于刚刚接触空间几何的学生来说更容易接受。

（三）教学片段3的对比

教师A让学生观察长方体的侧棱与底面内AB、BC的位置关系。引导学生分析,提出猜想。

接着请学生拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），观察并思考：

①折痕AD与桌面垂直吗？

②如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？

再引导学生观察,多媒体演示翻折过程。然后提出问题：由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系，即AD⊥CD，AD⊥BD发生变化吗？由此你能得到什么结论？

在学生实验完成之后，教师A先请学生归纳自己的结论，然后总结得出定理。

在实验过程中，学生的积极性被充分调动，学习兴趣较之前面的时候更加浓厚。

教师B用多媒体向学生展示了三个问题，即长方体模型中的垂直关系、贺卡如何在桌面上直立以及由此可以得到什么猜想。然后，学生进行自主讨论，提出猜想。

学生提出猜想后，教师B拿出三角形纸片，同时多媒体上显示：

折纸实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，再将翻折后的纸片直立在桌面上（BD、DC与桌面接触）

学生用三角形纸片验证自己提出的猜想，同时小组讨论交流。

根据《中学数学课程标准》，本节课对于定理的得到，要求学生通过直观感知，操作确认即可。在这一部分中，教师A与教师B均利用长方体模型与三角形纸片实验，教师A的教学过程中是由直观感知，动手操作得到判定定理，由具体到抽象。教师B的教学过程是由长方体模型、纸片实验让学生得到猜想，再由纸片实验操作确认。学生亲历了数学研究的过程，体验到探索的乐趣，从之后的例题与习题学生的参与和反应上可以看出教师A的教学虽然逻辑严密，教师B的教学学生学习兴趣更高，主动性更强，亲历数学研究的发现过程，学生对于定义及定理的理解更为深刻。

三、对中学数学教学的启示

（一）课程引入中 “发现问题”，激发学习兴趣

教学中引入课题的环节往往是提出问题的过程,在数学教学中数学问题的产生需要经过一系列的思维活动。在这两节课中，教师A通过举出旗杆的例子，提出问题，教师B则是让学生自己寻找生活中线面垂直的例子，再通过书本的例子，让学生自己发现线与面之间的内在联系，符合数学研究的规律，学生在发现问题的过程中由具体到抽象，培养学生的几何观察能力。

（二）创设发现环境，引发发现动机

美国心理学家布鲁纳认为，“在教学过程中，学生是一个积极的探索者，教师的作用是要形成一种学生能独立探索的情境，帮助学生形成丰富的想象。”在教学片段2中，教师A与教师B的教学设计完全不同，教师A辨析题的形式，虽然逻辑严谨，但对于刚接触立体几何的学生来说，抽象的、严谨的数学表述不利于他们的理解，教师应遵循学生的认知规律，创设学生思维的环境，引发学生的发现动机，交给学生打开数学大门的钥匙，而不是一味地传授知识。教师B在这一环节中延续使用课题引入中的书本模型，继续与学生一起探索线面垂直的定义，用直观的具体的事物引发学生的发现动机，让学生去探索，这与新课改中要求以学生为主体是一致的，学生的主动性得到充分发挥。在中学数学教学中，传统教学模式以教师的教为主，学生能做的只能一味的接受知识，而在教学中精心设计发现过程，让学生体悟数学研究的过程，对培养学生发现问题、解决问题的能力也是大有帮助的。

（三）培养猜想能力，体会发现过程

当学生接触到数学问题，最初往往是一种直觉思维，是对数学对象及其结构的一种迅速的识别及简单的判断。法国数学家彭加勒曾指出：“逻辑是证明的工具，直觉是发明的工具”[2]。在教学中我们应该重视学生的直觉思维，并利用直觉思维，通过合情推理，大胆猜想，让学生真正体会到知识产生的过程。在线面垂直判定定理的得到进程中，教师A借助学生最熟悉的长方体模型，引导学生分析，并以此为基础，进行合情推理，然后得出结论。可以看出，教师A的这种设计其实也是一种发现过程，但是是学生跟着教师的脚步一步一步发现，学生的主动性有一定的体现，学生学习的积极性也提高了。而教师B对于这一部分的处理开始同样借助长方体模型让学生直观感知，同时加入了纸片实验，将问题生活化、简单化，提高了学生学习的兴趣，然后引导学生提出猜想，接着让学生验证猜想，这个发现定理的过程，使学生在自己的实践中感受数学探索的乐趣，获得成功的体验，在讨论交流中提高学生的积极性和创造性。这样的设计中，在学习过程中学生是主动的，对所学习的内容理解更加透彻。当然，这种设计所需的时间较长，对于精心设计的发现过程可以取得良好的教学效果，但占用时间较长，其有效性与可执行性仍值得商榷。

[1]于飞.从两节同课异构课的对比分析看英语课堂词汇教学的有效性[J].英语教师，2011，(7):38-41.

[2]施永新.例谈数学教学中发现性思维能力的培养[J].中学数学,1993，(11)：6-7.