卫星地面轨迹分段拟合确定交叉点的方法研究

周晓光，苗洪利，王云海，范陈清，崔廷伟，张 杰

1.中国海洋大学 信息科学与工程学院，山东 青岛 266100；2.国家海洋局 第一海洋研究所，山东 青岛 266061

1 引 言

卫星绕地球运行一周的轨道地面轨迹可分为2个弧段（pass），分别为上升弧段和下降弧段，在一个轨道重复周期内，若干上升弧段和下降弧段所形成的交点称为交叉点。交叉点是由于地球自转所形成［1］。在交叉点处，上升弧段和下降弧段具有相同的经纬度（即相同的地理位置）。

文献［2］提出将卫星的长期摄动和地球自转结合，基于地球自转模型的天文学计算得到了理论交叉点。由于重复周期的实际轨道并不严格重合，导致了天文学计算得到的理论交叉点位置与实际位置相差过大。为了解决此问题，文献［3—4］提出了由理论交叉点位置出发迭代求解交叉点实际位置的方法。但是在将地球视为形状规则、密度均匀的正球体的二体系统中，虽然卫星运动轨迹大致可以由轨道倾角、升交点赤径、轨道长半轴、轨道偏心率、近地点角距和平近点角6个参量确定，但由于高度计采用大地经纬度，此时地球被视为密度不等的旋转椭球体，而且卫星的轨道受到地球引力、大气阻力、太阳光压力以及月球、太阳、行星等因素影响而产生摄动，所以很难通过数学计算得到交叉点的精确位置。为了适应区域平差的要求，一些学者将全球划分为六大区域，分区域对其上升弧段和下降弧段进行二次项拟合，联立求解交叉点位置［5］，如文献［6］在研究多星联合确定中国近海重力异常时，在中国近海及其邻海区域内的T／P、ERS2和Geosat 3颗卫星地面轨迹进行二次多项式拟合计算交叉点，但这种方法只能用于区域平差，在全球范围内高度计的实际轨道与二次多项式曲线相差较大，如果对全段直接拟合所得出的二次多项式进行联立，其得到的交叉点概略位置与精确位置会相差过大，这将导致从概略位置到精确位置的逼近效率变低；由于高纬度地区拟合曲线和实际地面轨迹偏离较大，使二次多项式联立无法得到交叉点概略位置，导致高纬度区域交叉点数大量缺失。

交叉点精确位置对应的海表面信息是由上升弧段和下降弧段周边实测点线性插值得到，因此交叉点精确位置确定直接影响交叉点测量不符值的精度。而高度计时标偏差计算［7］、卫星数据定轨［8］、卫星轨道误差修正［9－11］、大地水准面模型的建立［12］、利用测高数据反演重力场［13］、海况偏差的计算［14－16］、潮汐的调和分析［17－18］以及 多星数 据联合方面的研究［19－20］都是以交叉点数据为基础的。天文学计算方法过于复杂，计算效率低。而适用于区域平差的拟合方法又无法应用到全球范围。因此找到一种准确高效、适合于全球范围的交叉点确定方法十分重要。

2 方法与数据处理

2.1 最优分段

因为全球范围内卫星地面轨迹与二次多项式曲线差距较大，所以通过对全段轨迹的二次拟合得到交叉点概略位置的可行性不大。本文根据卫星地面轨迹的特征，对其进行合理的分段，然后对分段后的轨迹进行二次拟合，并对升、降轨迹拟合二次多项式联立得到所需交叉点概略位置。

由于卫星的地面轨迹与其轨道倾角关系密切，因此不同卫星地面轨迹特征差距较为明显，本文以轨道倾角为66°的Jason－1卫星高度计为例进行分析，图1为Jason－1卫星地面轨迹的示意图。如图可知卫星地面轨迹为类正弦曲线，因此本文根据其曲线的弯曲特性，采用不等间隔的分段方法设计了11种分段类型，如表1所示。按照各种类型进行分段拟合并进行拟合效果分析，最终确定最优分段类型。

提取Jason－1卫星高度计第126个重复周期的第21弧段（上升）和64弧段（下降）的GDR（geophysical data record）2级数据产品中的经纬度信息，按照表1中所列的分段方法进行分段，对每段经度λi和纬度φi的实测值按照式（1）进行拟合，确定系数A、B、C

图1 Jason－1卫星地面轨迹示意图Fig.1 The view of ground track of Jason－1altimeter

表1 各类型的分段方式Tab.1 Description of the region of latitude in different types

将GDR中的经度值λi代入拟合方程（1）得到纬度的计算值φi，通过式（2）与实测值φi进行标准偏差（S）计算

式中，S为标准偏差；N表示测量点的数目。标准偏差表示了拟合值和实测值的偏离程度，其值越小则说明拟合值和实测值越贴近，拟合效果越好。在实际应用中，表2为各类型分段拟合后整个上升弧段或下降弧段的标准偏差。经统计Jason－1卫星高度计地面轨迹中两个相邻点纬度的差值均值为0.039 4，因此分段拟合之后整个弧段纬度的拟合标准偏差在小于0.039 4的前提下，拟合偏差最小的分段类型即认为是最优分段类型。

分析表2可以发现，pass 21和pass 64的标准偏差均以Type－12为界，在此之前呈明显下降趋势而在此之后略有上升，值得注意的是Type－4的标准偏差与相邻的Type－3和Type－5相比明显要小，这是因为Jason－1高度计的轨道地面轨迹在－45°和45°纬度附近明显曲折并不适宜进行二次多项式拟合，Type－4恰好以－45°和45°为分段点，而Type－3和Type－5则包含了这两个拐点，导致拟合效果不如 Type－4好。Type－18和 Type－36尽管分段更细，不但运算效率会下降，而且平均分段忽略了卫星地面轨迹的弯曲特征导致拟合效果下降。因此Type－12所述的12分段最优。由于不同倾角卫星地面轨迹会发生变化，分段节点需要根据轨迹曲线特征作适当调整。但本文分段设计方案及最优分段选取方法对任何倾角的卫星依然适用。

表2 各分段类型不同弧段的拟合标准偏差Tab.2 Standard deviation of different pass under different types

2.2 交叉点概略位置确定

按照Type－12的分段类型将升降弧段分别划分为12个纬度区域，从－90°～－65°纬度区域开始，对每个纬度区域内的所有上升弧段分别与所有的下降弧段利用如下条件判断二者是否存在交叉点：

（1）上升弧段在该纬度区域内第一点的经度小于下降弧段在该纬度区域最后一点的经度；

（2）上升弧段在该纬度区域内最后一点的经度大于下降弧段在该纬度区域内第一点的经度。

如果存在交叉点则在该纬度区域内对两弧段利用GDR中逐点的经纬度实测值分别进行拟合，得到二者的拟合二次多项式，联立求解确定交叉点概略位置。

2.3 交叉点精确位置确定

确定交叉点的精确位置是为了获取该位置对应的海况信息（如海表面高度、有效波高、风速等）。而恰好在交叉点处有测量值的概率很小。一般都是找到精确位置升、降弧段两侧各两个数据点Qa1、Qa2和Qd1、Qd2（简称插值点），角标a表示升弧段，d表示降弧段，利用4个点的经纬度值进行插值得到交叉点的精确位置。同时交叉点升弧段和降弧段的海况信息分别由各自附近两个插值点的测量值线性插值得到。精确位置确定方法如下：

在升、降弧段上分别找到与概略位置相同纬度位置上下相邻的两个数据点，数据点位置分别表示为Pa1、Pa2、Pd1、Pd2（简称初始点），如果点Pa1和Pa2组成的线段与Pd1和Pd2组成的线段存在交点，则初始点Pa1、Pa2、Pd1、Pd2就是所求的插值点Qa1、Qa2、Qd1、Qd2，本文中此情况简称case 1，如图2（a）所示。如果点Pa1和Pa2组成的线段与Pd1和Pd2组成的线段不存在交点，则必须扩展线段的长度，使其产生交点，以该交点为新的概略位置得到新的4个初始点，再次判断新的4个初始点是否就是Qa1、Qa2、Qd1、Qd2，如果不是则重复上述步骤，直到得到满足要求的4个插值点，此情况简称为case2，如果上述步骤重复n次则简称为case 2－n，如图2（b）所示。

图2 pass 21和pass 64以及pass 1和pass12所构成交叉点精确位置的确定Fig.2 Find the precise location of crossover formed by pass 21，pass64and pass1，pass12

3 结果分析

以Jason－1高度计第126重复周期的数据为例，针对表1中分段类型 Type－1、Type－9、Type－12和Type－36，找到的交叉点概略点的总数、符合case1和case2－n概略点的数量及占概率点总数的百分比，见表3。

表3 不同分段类型概略点的数量及占总数的百分比Tab.3 Number and percent of cursory location of crossover in different condition and different experiments

4个不同分段类型的结果表明：随着分段区间的增加能够得到的交叉点概略位置点的数量在增加，但是分段超过12段之后所增加的概略点数量已经极少，这是由于Type－12的分段拟合效果已经很好，基本接近交叉点概略位置数量极限。随着分段区间的增加符合case 1的概略点所占比重逐渐增加，在Type－12和Type－36中大部分的概略点已经不需要进行case2中的步骤即可找到精确位置周围4点。由此说明，分段越细，找到精确位置的效率越高。综合数量和效率两方面考虑，12分段已是最优分段。

使用分段类型Type－1、Type－12分别确定Jason－1卫星高度计第126个重复周期的第113个弧段上的交叉点位置，结果见图3。由于数据点过于密集，将一条上升轨迹分为3个纬度区间分别作图。

分析图3，可以发现未分段Type－1确定的交叉点基本都集中在南北纬40°之间的中低纬度地区，而且与Type－12确定的交叉点完全重合，说明使用Type－12分段类型与Type－1分段类型确定交叉点有着相同的精度，见图3（b）。但在高纬度Type－1无法找到交叉点，而Type－12则能确定更多的有效交叉点，如图3（a）、图3（c）所示。

图3 使用分段类型Type－1和Type－12确定的交叉点位置Fig.3 Location of crossover calculated using Type－1and Type－12

4 结 论

为了能够高效、精确确定交叉点的位置，本文提出了分段拟合卫星地面轨迹的方法，设计了11种分段类型，并应用于Jason－1高度计交叉点位置确定过程中。以整个弧段纬度的拟合标准偏差作为确定最优分段类型的标准，其中拟合偏差最小的分段类型被认为是最优分段类型。最终结果表明：不同的分段方法拟合的效果不同，能找到交叉点概略位置的数量随着分段区间的增加而增加，但是超过12段之后概略位置点数量趋于稳定。随着分段区间数的增加，概略位置与精确位置更加接近，这样能够更快地确定交叉点的精确位置。综合交叉点数量和效率两方面考虑，采用12段的分段方法确定交叉点效果最优。由于不同倾角卫星地面轨迹会发生变化，分段节点需要根据轨迹曲线特征适当调整。本文分段设计方案及最优分段选取方法对任何倾角的卫星依然适用。

［1］ ZHAI Guojun，HUANG Motao，XIE Xijun，et al.The Theory and Method of Satellite Altimeter Data Processing［M］.Beijing：Surveying and Mapping Press，2000：106－107.（翟国君，黄谟涛，谢锡君，等.卫星测高数据处理的理论与方法［M］.北京：测绘出版社，2000：106－107.）

［2］ HAGAR H.Engineering Memorandum 315－29：Computation of Circular Orbit Ground Trace Intersections［R］.［S.l.］：Jet Propulsion Laboratory，1977.

［3］ ROWLANDS D.The Adjustment of SEASAT Altimeter Data on a Global Basis for Geoid and Sea Surface Height Determination［R］.Columbus：Ohio State University，1981.

［4］ SHUM C K.Altimeter Methods in Satellite Geodesy［R］.Austin：University of Texas，1982.

［5］ WANG Guangyun，WANG Haiying，XU Guochang.The Theory of Satellite Altimeter［M］.Beijing：Science Press，1995：207－208.（王广运，王海瑛，许国昌.卫星测高原理［M］.北京：科学出版社，1995：207－208.）

［6］ LI Jiancheng，NING Jinsheng，CHEN Junyong，et al.Determination of Gravity Anomalies over the South China Sea by Combination of TOPEX／Poseidon，ERS2and Geosat Altimeter Data［J］.Acta Geodaetica et Cartographic Sinica，2001，30（3）：197－202.（李建成，宁津生，陈俊勇，等.联合TOPEX／Poseidon，ERS2和Geosat卫星测高资料确定中国 近 海 重 力 异 常 ［J］.测 绘 学 报，2001，30（3）：197－202.）

［7］ SCHUTZ B E，TAPLEY B D，SHUM C K.Evaluation of the SEASAT Altimeter Time Tag Bias［J］.Journal of Geophysical Research，1982，87（C5）：3239－3245.

［8］ ZHANG Rongzhi，ZHOU Fengqi，XIONG Jing.Using Crossover Data from Satellite Altimeter for Orbit Determination［J］.Acta Astronomica Sinica，2010，3（51）：317－323.（张荣之，周凤歧，熊菁.星载测高仪交叉点数据定轨研究［J］.天文学报，2010，51（3）：317－323.）

［9］ CLOUTIER J R.A Technique for Reducing Low－frequency，Time－dependent Errors Present in Network－type Surveys［J］.Journal of Geophysical Research，1983，88（B1）：659－663.

［10］ KOZEL B J.Dual－satellite Altimeter Crossover Measurements for Precise Orbit Determination［D］.Austin：University of Texas，1995.

［11］ WANG Haiying.Satellite Altimeter Data Processing and Its Applications in China Seas and Vicinity［J］.Acta Geodaetica et Cartographic Sinica，2001，32（2）：185.（王海瑛.中国近海卫星测高数据处理与应用研究［J］.测绘学报，2001，32（2）：185.）

［12］ KLOKOCNIK J，WABNER C A.A Test of GEM－T2from GEOSAT Crossovers Using Latitude Lumped Coefficients［J］.Journal of Geodesy，1994，68（2）：100－108.

［13］ HUANG Motao，WANG Rui，ZHAI Guojun，et al.Integrated Data Processing for Multi－satellite Missions and Recovery of Marine Gravity Field［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2007，11（32）：988－993.（黄谟涛，王瑞，翟国君，等.多代卫星测高数据联合平差及重力场反演［J］.武汉大学学报：信息科学版，2007，11（32）：988－993.）

［14］ GASPAR P，OGOR F，LE TRAON P Y，et al.Estimating the Sea State Bias of the TOPEX and POSEIDON Altimeters from Crossover Differences［J］.Journal of Geophysical Research，1994，99（C12）：24981－24994.

［15］ FLORENS J P，GASPAR P.Estimation of the Sea State Bias in Radar Altimeter Measurements of Sea Level：Results from a New Non Parametric Method［J］.Journal of Geophysical Research，1998，103（15）：803－814.

［16］ GASPAR P，LABROUE S，OGOR F，et al.Improving Nonparametric Estimates of the Sea State Bias in Radar Altimeter Measurements of Sea Level［J］.Journal of Atmospheric ＆ Oceanic Technology，2002，19（10）：1690－1707.

［17］ BAO Jingyang，CHAO Dingbo，LI Jiancheng.Tidal Harmonic Analysis Near Crossovers of TOPEX／POSEIDON Ground Track in South China Sea［J］.Acta Geodaetica et Cartographic Sinica，2001，29（1）：17－23.（暴景阳，晁定波，李建成.南中国海TOPEX／POSEIDON轨迹交叉点测高数据的潮汐调和分析［J］.测绘学报，2001，29（1）：17－23.）

［18］ MAO Qingwen，SHI Ping，QI Yiquan.Tide Separation from the Altimetry Data Using Harmonic Analysis Method［J］.The Ocean Engineering，2002，20（1）：41－45.（毛庆文，施平，齐义泉.运用调和分析方法分离卫星高度计资料中的潮汐信息［J］.海洋工程，2002，20（1）：41－45.）

［19］ HUANG Motao，ZHAI Guojun，OUYANG Yongzhong，et al.Recovery of Marine Gravity Field Using Integrated Data from Multi－satellite Missions［J］.Science of Surveying and Mapping，2006，31（6）：37－39.（黄谟涛，翟国君，欧阳永忠，等.利用多代卫星测高数据反演海洋重力场［J］.测绘科学，2006，6（31）：37－39.）

［20］ HU Jianguo，ZHANG Chuanyin，CHANG Xiaotao.Methods of Multi－satellite Altimetry Data Processing and Its Application［J］.Bulletin of Surveying and Mapping，2004（1）：1－4.（胡建国，章传银，常晓涛.近海多卫星测高数据联合处理的方法及应用［J］.测绘通报，2004（1）：1－4.）