二次函数与一元二次方程的关系及运用

☉重庆市涪陵区第十四中学校 贺清伦

二次函数和一元二次方程是我们学习的两个“二次”问题，两者之间有着怎样的关系呢？下面为同学们一一介绍.

一、两者的关系

（1）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值等于m，求自变量x的值，可以解一元二次方程ax2+bx+c=m（即ax2+bx+c-m=0）.反过来，解方程ax2+bx+c=0（a≠0）又看做已知二次函数y=ax2+bx+c值为0，求自变量x的值；

（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的关系：

当b2-4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的根，二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点（x1，0）和（x2，0）；

当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的根，二次函数y=ax2+bx+c与x轴只有唯一的一个交点（x，0）；

当b2-4ac＜0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实数根，二次函数y=ax2+bx+c与x轴无交点.

图1

二、两者关系的运用

1.一元二次方程的根

例1 已知二次函数y＝－x2+2x+m的部分图像如图1所示，则关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0的解为＿＿＿.

分析：要求出方程－x2+2x+m＝0的解，我们根据二次函数y＝－x2+2x+m的部分图像，知道抛物线的对称轴和一个交点的坐标.求出另一个交点的坐标，从而求出方程的解.

解：不妨设抛物线与x轴的两个交点坐标是（x1，0）（x2，0）.

说明：本题也可以通过图像的信息求出m的值，再解方程.

2.求一元二次方程的根

例2二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图2所示，根据图像解答下列问题：

（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根.

（2）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

图2

解析：（1）从图像上可以看出，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于两点（1，0）、（3，0），故方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=1，x2=3.

（2）要使方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，也就是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与直线y=k有两个不同的交点，根据图像可知抛物线的顶点的纵坐标为2，所以只有当k＜2才能满足条件.

说明：通过本题的解答，我们可以看到二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和方程ax2+bx+c=0之间有密切的联系.

3.一元二次方程的根与二次函数的解析式

例3已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点Q（0，-3），图像与x轴两个交点的横坐标的平方和为15，求函数解析式及对称轴.

解析：可由抛物线与y轴的交点坐标求出c的值，这样只需待定“b”，即只需构造关于b的方程，由于已知条件给出图像与x轴两交点的横坐标的平方和为15，x12+x22=15，需用一元二次方程根与系数的关系，由此作为等量关系来构造方程，解题的关键是用含b的代数式表示x12+x22.

由点Q（0，-3）知c=-3，则抛物线的解析式为y=x2+bx-3.

设图像与x轴交点的横坐标为x1、x2，

则x1、x2是一元二次方程x2+bx-3=0的两个根.

由根与系数的关系得x1+x2=-b，x1x2=-3，

所以x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=b2+6-15.

解得b=±3.

说明：从上面解题过程可知用待定系数法求函数解析式一般有两条解题思路：

（1）把已知条件转化为图像上一点的坐标，把坐标代入解析式构造关于“待定系数”的方程；

（2）利用已知的等量关系直接构造关于“待定系数”的方程.

4.判断一元二次方程根的存在问题

例4已知二次函数y=（m-2）x2+2mx+m+1，其中m为常数，且满足-1＜m＜2，试判断此抛物线的开口方向，与x轴有无交点，与y轴的交点在x轴上方还是在x轴下方.

解析：由-1＜m＜2，得m-2＜0，所以抛物线开口向下，又m+1＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，所以Δ=4m2-4（m-2）（m+1）=4m2-4（m2-m-2）=4m+8=4（m+1）+4＞0.

故抛物线与x轴有两个不同的交点.

说明：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）除了解a的含义以外，还应理解常数c为抛物线与y轴交点的纵坐标，即由c定点（0，c），c的正、负符号决定（或决定于）抛物线与y轴的交点在x轴上、下方，c的绝对值决定（或决定于）图像与y轴交点到x轴的距离.由y=0，得一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.它有无实根由判别式Δ=b2-4ac来决定.

通过上面的题目我们可以看出，一元二次方程和二次函数之间有着紧密的联系，在解题时，我们只有充分运用它们的关系，就能准确地进行求解.一元二次方程与二次函数之间有着密切的关系，解题时，我们只要把握他们之间的联系，把交点的坐标和方程的根联系起来，就能顺利得到题目的答案.