“失败”的一节数学课

☉甘肃省通渭县通和初级中学 张守荣

评价一节课好坏的标准就是教学目标达到了没有，教学重难点突破了没有及教学效果如何.一般情况下，一节课的教学目的，教学重难点都是非常明确的.教师在备课时都是从这几个方面来下功夫的.有经验的教师在备课时做到备学生、备教材、备教法.笔者在平时的教学中也是这样做的，教学效果不错，成绩名列前茅.但是有这样一节课，却是学生“牵着”教师的“鼻子”走，“由不得”笔者了.那就先从这节课的备课说起吧.

教材内容：新人教版数学七年级下册《7.3.2多边形的内角和》.

教学目的：使学生了解多边形的内角、外角等概念，且能通过不同方法探索多边形的内角和、外角和公式并会应用它们进行有关的计算.

教学重点：多边形的内角和、外角和公式.

教学难点：多边形内角和定理的探索.

教学流程：首先介绍多边形的内角、外角的概念，然后以四边形为例探索几种内角和定理的推导过程，再以四边形为例探索外角和公式，最后拓展到多边形的内角和、外角和公式，同时做几道相关的练习.

介绍概念后提出问题：如何证明四边形内角和定理？如何把未知的知识转化为已知的知识？未知的是什么？已知的是什么？

图1

学生A：未知的是四边形的内角和，已知的是三角形的内角和，连接一条对角线，就可分成两个三角形，四边形的内角和等于两个三角形的内角和.如图1.

证明：∠DAB+∠B+∠BCD+∠D

=（∠CAB+∠B+∠BCA）+（∠DAC+∠ACD+∠D）

=180°+180°

=360°.

这是所有人都能想到的方法.

“还可以在四边形的内部任找一点，把这点和所有顶点连接，就可分成四个三角形.”没等我诱导其他方法，数学学习热情高的学生B抢先说了.

“嗯！不错，但这时四边形被分成了四个三角形，已经知道四边形的内角和等于360°，难道四边形的内角和也可以等于180°×4=720°？”

大家稍一沉默，学生C站起来说：“从四边形内部的这点引出的角不是四边形的内角，应当把这个角减去，而它正好是一个周角，剩下的就是360°.”

图2

“噢！是这样，多角度解决数学问题是我们学好数学的关键.”我不失时机地B赞扬一下，并把证明过程用幻灯片展示如下（如图2）.

证明：∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA

=（∠OAB+∠ABO+∠BOA）+（∠OBC+∠BCO+∠COB）+（∠OCD+∠CDO+∠DOC）+（∠ODA+∠DAO+∠AOD）-（∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOA）

=180°×4－360°

=360°.

“也许我们还有其他方法，大家能不能想出来？”有了不同方法后我趁机诱导大家.

图3

大家沉默片刻后，学生D站起来说：“我可以在某一条边上选一点，然后把这点和不相邻的两个顶点连接，可构成三个三角形，四边形的内角和等于三个三角形的内角和减去由这个点引出的三个角构成的平角（如图3）.”

这时同学们投来了赞许的目光.（幻灯片展示证明过程）

证明：∠A+∠B+∠BCD+∠CDA

=（∠A+∠AOD+∠ODA）+（∠B+∠BCO+∠COB）+（∠OCD+∠CDO+∠DOC）-（∠AOD+∠DOC+∠COB）

=180°×3-180°

=360°.

看得出许多学生露出满意的笑容，在课前准备的三种方法也顺利地由学生“交代”出来，我们又一起回顾了四边形内角和定理的三种证明方法，正准备下一环节的内容，突然喜欢钻研数学的学生E站起来说：“老师，既然点不仅可以选在四边形内部，还可以选四边形的边上，那么能不能把点选在四边形的外部哪？”

大家都被这突如其来的问题弄“闷”了.不讨论吧，打击学习热情，讨论吧，影响教学进程，还是“草草”讨论，来个两全其美.“到底怎么样，大家讨论一下吧.”大家七嘴八舌地开始讨论了.

片刻之后，学生F举手：“这样也可以，在四边形外找一点，然后把这点和四个顶点依次连接，四边形的内角和就为三个三角形内角和减去外面三角形的内角和（如图4）.”

课前没有准备这种解法，幻灯片不能及时展示，只能让该生板演过程.

证明：∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA

=（∠OAB+∠ABO+∠BOA）+（∠OBC+∠BCO+∠COB）+（∠OCD+∠CDO+∠DOC）-（∠OAD+∠ADO+∠DOA）

=180°×3-180°

=360°.

这时一看时间，已经过去了近二十分钟，看来今天的教学任务完不成了，“一不做二不休”，干脆就此总结一下.

原来，我们把四边形分成三角形，关键是选点，这点可以选在四边形的边上（边上有顶点处和不在顶点两种情况），选在四边形的内部，选在四边形外部.

至此，所有人感觉四边形内角和证明方法已经非常完美了，把所有情况都做了讨论，正准备收场时，又有爱钻“牛角”的学生G站起来说：“老师，F的解法有漏洞，当这个点在四边形外部的位置不同时，证明方法不一样.”

“噢！还有这样的问题？所有的学生为之一愣，做做看.”

他利索地在黑板上画出了图形（如图5）.大家观察之后，果然这种情况不能用上述方法证明，那么到底该如何证明呢？”

大家都静下心来思考，好久没有反映，还是学生F发言了，看来“解铃还需系铃人”.

我觉得：“先把△OAB和△OBC的内角和加起来，相比四边形的内角少了∠ADC，而多了∠AOC，∠OCD，∠DAO.而根据三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得∠ADC=∠ADG+∠CDG=∠DAO+∠AOC+∠OCD.因此这个四边形的内角和实际为△OAB和△OBC的内角和相加等于360°.”

这时全班学生报以热烈的掌声.这节课完全“由不得”我了，大家又热闹起来了，肯定还会有不同的情况产生，果然又有学生H站起来，还有一种不同的情况.

他展示了他的“作品”，原来是图6.

他给出了这样解法：四边形的内角和等于以顶点A引出的周角加顶点D引出的周角，再加△OBC的内角和共900°，然后减去△OBA，△OAD，△ODC的内角和共540°，这样可得结果为360°.

全班一片沸腾，掌声经久不衰，学习多边形的外角和显然没时间了，赶快做几个练习吧.不料数学学习最细心的学生I又发言了：“这个点还可以在某条边的延长线上（如图7）.”

图7

证明：∠DAB+∠ABC+∠C+∠CDA

=∠DAB+∠ABO+∠OBC+∠C+∠DOA+∠OAD

=∠DAB+∠OAD+∠ABO+∠OBC+∠C+∠COB+∠BOA

=（∠OAB+∠ABO+∠BOA）+（∠OBC+∠C+∠COB）

=180°+180°

=360°.

这时全班学生发出惊叹的表情，竟然可以这样做.不过我还是把话题转到做练习上，不然课堂结构也太不完整了.

不料，“数学王子”学生J又站起来了.难怪！这么热闹的一节课怎么能少了他！“还有一种情况，就是直接延长不平行一组对边让它们相交（当它们有不平行的对边时）（如图8）.”

原来他是这样证明的.

证明：∠DAB+∠B+∠C+∠CDA

=（∠B+∠C+∠O）+（∠DAB+∠DAO）+（∠CDA+∠ADO）－（∠O+∠DAO+∠ADO）

=180°×3－180°

=360°.

“哇塞！”同学们一片欢呼！原来我们可以用这么多的方法来证明四边形的内角和.当然啦！这个做法只适合有一组对边不平行的情况.

看来练习都做不成了，索性就把我们所做的几种证明方法总结一下吧.表达能力最强的学生K给大家做了总结：

“证明四边形的内角和就是想办法把四边形的角构成平角或周角或三角形，方法是通过一点和各顶点连接，这个点可以在四边形的边上，在四边形的边上时又有在顶点处和不在顶点处两种情况，可以在四边形的内部，也可以四边形的外部，在外部时还有几种情况.”

伴随着学生K的总结下课铃声也响了，学生们一个个带着满意而轻松的笑容.

下课之后反思，虽然这节课远未达到“教学目标”，教学任务没有完成，但还是为大家的表现而感到欣慰，学生在课堂上能够积极思考，勇于探索，敢于发言，这不正是我们数学课上所需要的吗？我们在平时也不是强调要培养学生的各种思想和精神吗？这些思想和精神体现在哪儿呢？

一、由未知到已知的转换

数学的发展都是把未知的知识分解、细化而转化为已知的知识，然后这时又变成已知的知识，又去解决其他未知的知识，这节课的思想就是把未知的四边形的内角和通过添加辅助线转化成已知的三角形的内角和，从而可以得出四边形的内角和.

二、归纳思想

归纳思想是数学中的重要思想之一，虽然初中阶段的学生还不了解完全归纳法和不完全归纳法，但在这节课的学习中通过把点选在四边形的边上，四边形内部，四边形外部，实际上渗透了归纳思想和分类思想，且有利于培养学生的慎密思维.

三、发散思维

本节课的教学，学生能够从不同的角度来解决数学问题，有利于培养学生的发散思维，而发散思维对学生的数学学习不仅是必要的，而且是必须的.

虽然这节课没有完成教材交代的教学任务，但本节课的收获是不能仅仅用课本交代的教学任务所能代替的.作为教师来说，一定要放眼学生未来，课堂教学要做到“不拘一格”，对学生数学的学习精神和思想要渗透到课堂中来.这样才有可能让学生学好数学，学活数学.