基于优先度的概率区间型决策

高峰记，王海英

（解放军后勤指挥学院后勤管理系，北京 100858）

0 引言

研究不确定条件下的决策原理和方法，历来是决策论的中心内容，所谓不确定性，是指由于存在决策者不可控的因素，决策方案执行的结果存在多种可能性。

在概率区间型决策中，文献[1]给出了基于期望值极值的“好中求好”，“坏中求好”，“现实主义”等决策方法，文献[2]给出了统计优势法决策法。文献[4]给出了优序法文献[5]给出了模拟法，非线性转换法，线性转换法等决策方法。文献[6]给出了这类决策的Bayes决策法。下面我们用一种非常简便的算法计算出期望值区间，并给出方案优先度的概念及其算法，然后在此基础上给出新的决策方法。

1 概率区间型决策的定义及性质

定义1 设决策问题面临B1,B2,…,Bn等n个自然状态，其发生的概率分别为p1,p2,…,pn。假若⑴B1,B2,…,Bn构成完备事件组，即p1+p2+…+pn=1；⑵B1,B2,…,Bn发生的概率p1,p2,…,pn不能完全确定，但可以判定这些概率分别位于区间之上，即…,n))称这种类型的决策问题为概率区间型决策。

性质1 在概率区间型决策中，如果自然状态Bj(j=1,2,…,n)发生的概率

在引入概率区间型决策的概念后，传统决策理论中的确定型决策，风险型决策和不确定型决策都可以看成是概率区间型决策的特殊情况。

可见，概率区间决策可以用一种模式来描述决策问题可能面临的不同状态，它的提出对于决策理论的研究与发展起到了重要的推进作用。

2 决策方法

在决策中，假设决策方案Ai（i=1,2,…,m）在自然状态Bj（j=1,2,…,n）下的益损值为aij，则求Ai的期望值的最大值与最小值问题，可以转化成如下线性规划：max或

该线性规划问题的求解不需要用一般的线性规划求解方法求解，下面可以给出了一种非常简便的求解方法。求方案Ai的极大期望值的计算方法：

第四步：令r=j*，计算:

求方案Ai的极小期望值的计算方法与求极大期望值的计算方法基本一致，只需将第二步和第四步中的max换成min即可。

定义2 若-∞＜a≤b＜+∞，则称[a,b]为有界闭区间数；若-∞＜a＜b＜+∞，则称[a,b]为有界真闭区间数；若0≤a≤b＜+∞，则称[a,b]为非负有界闭区间数。

定义3 设[a-,a+]，[b-,b+]为有界闭区间数，定义如下运算：

（1）[a-,a+]=[b-,b+]⇔a-=b-,a+=b+

（2）[a-,a+]+[b-,b+]=[a-+b-,a++b+]

（3）[a-,a+]-[b-,b+]=[a--b+,a+-b-]

（4）[a-,a+]×[b-,b+]=[min(a-b-,a-b+,a+b-,a+b+),max(a-b-,a-b+,a+b-,a+b+)]

特别地，a×[b-,b+]=[min(ab-,ab+),max(ab-,ab+)]

定义4 设[a-,a+]，[b-,b+]为有界闭区间数，X是[a-,a+]上的随机变量，Y是[b-,b+]上的随机变量，定义[a-,a+]≥[b-,b+]的可能度（记为P{[a-,a+]≥[b-,b+]}）为X≥Y的概率。即P{[a-,a+]≥[b-,b+]}=P{X≥Y}。特别地，如果[a-,a+]，[b-,b+]都退化成一点，设[a-,a+]=a，[b-,b+]=b（a，b为实数），则a＞b时，P{X≥Y}=1；a=b时，P{X≥Y}=0.5；a＜b时，P{X≥Y}=0。

定义5 如果决策方案A的期望值区间数为[a-,a+]，决策方案B的期望值区间数为[b-,b+]，方案A优于方案B的优先度为P(A＞B)＝P{[a-,a+]≥[b-,b+]}。定义6 如果决策方案A与B比较的结果是P(A＞B)=1，则称B为拙劣方案。

性质2 设[a-,a+]，[b-,b+]是两个有界闭区间数，其中至少有一个是有界真闭区间数，X在 [a-,a+]上服从均匀分布，Y在[b-,b+]上服从均匀分布，则：

证明 当a-≥b+和b-≥a+时结论显然成立。

图1 a-＜ b-＜ a+＜ b+

图2 b-＜ a-＜ a+＜ b+

当a-≤b-＜a+≤b+时（如图1）：

当b-≤a-＜a+≤b+时（如图2）：

当b-≤a-＜b+≤a+或a-≤b-＜b+≤a+时，同理可证。

性质3P(A≻B)＋P(B≻A)＝1

性质4 当[a-,a+]=[b-,b+]时，P([a-,a+]≥[b-,b+])=0.5

依据两方案A、B的优先度P(A≻B)，给出如下决策方法：

第一步，根据所给信息，计算方案Ai(i=1,2,…,m)的期望值极值，从而得出期望值所对应的区间数；

第二步，借助方案的期望值区间数，计算方案进行两两比较的优先度cij=P(Ai≻Aj)，从而得到优先度矩阵C（在比较的过程中如果发现拙劣方案，可以将拙劣方案删除）：

第三步，计算方案Ai(i=1,2,…,m)的总优先度最后根据总优先度P(Ai)的大小对方案进行排序。

3 概率区间型决策的应用

某后勤单位准备生产一种新产品，现已拟制出三个备选方案：①建立新车间大量生产（A1）；②改造原有车间达到中等产量（A2）；③利用原有车间设备小批试产（A3）。市场对该产品的需求情况存在如下四种可能：①畅销（B1）；②需求偏好（B2）；③需求稍差（B3）；④滞销（B4）。这三个方案在四种自然状态下的每月利润如表1。

表1 每月利润

表2 期望值极值

经预测，市场畅销的可能性是10～25；偏好的可能性是30～60；稍差的可能性是15～35；滞销的可能性是5～15；试确定最优决策方案。

利用前面所给的计算Ai极大期望值（maxE(Ai)）和极小期望值（minE(Ai)）的方法，分别求出方案A1，A2，A3的期望值极值如表2。所以，A1，A2，A3的期望值所在区间分别为：

利用（＊）式计算方案两两比较的优先度，所得结果为：

由于自身相比的优先度为0.5，所以，方案两两比较的优先度矩阵为：

所以，方案Ai(i=1,2,3)的总优先度P(Ai)分别为：

P(A1)=0.5+0.53+0.943=1.973

P(A2)=0.47+0.5+1=1.97

P(A3)=0.057+0+0.5=0.557

依据总优先度的大小，可以确定A1为最优方案。

事实上，由于P(A2≻A3)=1，所以，A3是决策的拙劣方案。在决策分析过程中可以将A3淘汰以节省分析时间。这样以来，只需将A1与A2进行比较就可以了。因为P(A1≻A2)=0.53，所以，A1优于A2，即A1是最优方案。

4 结束语

概率区间型决策较好的描述了介于不确定型决策和风险型决策之间的决策问题，在决策者对自然状态的概率信息掌握不多的情况下可以得到较满意的决策结果。它可以看成是传统决策理论与方法的推广，具有较强的实用性。

本文在期望值极值的基础上两两比较方案的优劣，给出方案两两比较的优先度，这比较符合人们正常的思维过程。通过两个决策方案优先度的计算，直接删除拙劣方案，以增强决策分析的简便性和快速性。最后综合计算各方案的总优先度，并据此给出方案的综合排序。达到了决策方案两两排序与整体综合排序相结合的目的。

目前，概率区间型决策理论与方法的研究仍处于起步阶段，许多方面需要完善、加强与开发，因此，对该领域的进一步深入研究是十分必要的。

[1]高峰记，陈俊.概率区间型决策[J].信阳陆军学院学报，1990，(1).

[2]高峰记.概率区间型决策的统计优势[J].系统工程理论与实践，1995，15（9）.

[3]高峰记等.概率区间型决策的线性分配法[J].济南陆军学院学报，1999,（3）.

[4]高峰记，王彦，徐小华.随机区间决策的优序法[J].军事运筹研究与创新，2000,（10）.

[5]何大义，周荣喜.区间概率信息下的决策方法[J].系统管理学报，2010,19（2）.

[6]王明文.基于概率区间的Bayes决策方法[J].系统工程理论与实践，1997，17（11）.

[7]Parka.,C王莲芬.不完全概率信息下的决策方法[J].系统工程理论与实践，1997，17（2）.

[8]谢乃明，刘思峰.考虑概率分布的灰数排序方法[J].系统工程理论与实践，2009，29（2）.