传统逐点比较法直线插补方法的改进

席港港，赵庆志，王 军，田晓文

（1．山东理工大学机械工程学院，山东淄博255091；2．山东五征集团有限公司，山东日照262300）

经济型数控机床由于成本低、操作简单、性价比高，从而占有比较大的市场，而该类数控机床常采用逐点比较法直线插补方法，该方法插补误差大，直线光滑性差，虽然不少学者也提出改进后的直线逐点比较插补方法，但仍存在不足之处．本文研究一种新的插补方法，可以提高插补精度．

1 逐点比较法插补原理及其改进

传统的逐点比较法直线插补包括偏差判别、坐标进给、新点偏差计算、终点判别4个步骤，该算法在坐标进给时不考虑进给后插补误差的大小而直接决定进给坐标，致使插补误差比较大，使得刀具在每一次进给时是在X坐标或Y坐标进给一个脉冲当量，而不能使得X坐标与Y坐标同时联合进给［1－5]．图1为传统逐点比较法直线插补轨迹，由图1可知插补OE斜线时产生了较大的插补误差，且直线斜率越大插补误差就越大．事实上，当直线趋向于45°斜线时，若能将X坐标与Y坐标同时进给一步，插补误差就大大减小［1－5]．经过研究，本文提出改进后的逐点比较法插补原理，以期大大减小插补误差，且方便开发数控系统控制程序．

改进后的逐点比较法插补原理调整为：先判断基础坐标，再计算偏差、坐标进给，确定基础坐标后，插补的4个步骤改为：两种进给方案的新点偏差计算、偏差大小比较、单坐标或双坐标进给、终点判别．即先分别计算出F、Fxy两种进给方案新点的偏差值，然后比较两者大小，再决定基础坐标进给还是联合坐标进给．这里F代表基础坐标X进给一步后的插补偏差，Fxy代表联合坐标X、Y同时进给一步后的插补偏差．

1．1 改进后逐点比较法直线插补原理

以第一象限斜线OE为例由O点（坐标原点）向E点加工，终点坐标E（Xe，Ye），插补过程中动点的坐标为（Xi，Yi），则传统的逐点比较法直线插补原理偏差判别函数为

当Xe≥Ye时，为保持偏差F趋于0，Xi增大的速度就比Yi快；当Ye＞Xe时，为保持偏差F趋于0，Yi增大的速度就比Xi快．所以分如下两种情况分析进给新点的偏差计算和坐标进给：

①当Xe≥Ye时，每次都进给＋X坐标，＋X坐标叫基础坐标［3]，只是考虑在什么条件下＋X、＋Y两坐标联合进给，不再考虑单独进给＋Y坐标．

根据文献［6] 可知，进给＋X坐标新点的偏差计算公式为：F＝F－Ye，而联合进给＋X、＋Y两坐标的新点的偏差计算公式为：Fxy＝Fxy－Ye＋Xe．显然，当｜F｜＜｜Fxy｜时，只进给＋X坐标，Fxy＝F；当｜F｜≥｜Fxy｜时，联合进给＋X、＋Y两坐标，F＝Fxy．

②当Ye＞Xe时，每次都进给＋Y坐标，＋Y坐标是基础坐标，只是考虑在什么条件下＋Y、＋X两坐标联合进给，不再考虑单独进给＋X坐标．

进给＋Y坐标新点的偏差计算公式为：F＝F＋Xe，而联合进给＋Y、＋X两坐标的新点的偏差计算为：Fxy＝Fxy＋Xe－Ye．显然，当｜F｜＜｜Fxy｜时，只进给＋Y坐标，Fxy＝F；当｜F｜≥｜Fxy｜时，联合进给＋Y、＋X两坐标，F＝Fxy．

图1 传统逐点比较法直线插补轨迹

1．2 改进后逐点比较法直线插补案例

在传统的逐点比较法直线插补原理和文献［1－5，7] 的基础上，利用提出的改进后的逐点比较法直线插补原理，确定基础坐标后，按照两种进给方案的新点偏差计算、偏差大小判别、比较进给、终点判别4个步骤，得到如图2所示的插补轨迹，由图2可知，插补误差大大减小．具体插补过程见表1．

图2 改进后的逐点比较法直线插补轨迹

当Ye＞Xe时，＋Y为基础坐标，表1中的F＝F－Ye变为F＝F＋Xe，其他计算相似．

2 改进后的逐点比较法其他区域直线的插补公式与坐标进给

图3所示的4个象限被两条过坐标原点交叉的45°直线分为8个区域，OA直线归1号区域，OD直线归3号区域，OB直线归5号区域，OC直线归7号区域．

当直线位于2号区域时，直线终点Xe＜Ye，＋Y为基础坐标，把Yi＝Yi＋1带入（1）式，则

即

把Yi＝Yi＋1，Xi＝Xi＋1带入（1）式，则得

式（2）和式（3）就是2号区域直线的插补偏差计算公式，得结论：2区域直线F＝F＋Xe，Fxy＝Fxy＋Xe－Ye，若｜F｜＜｜Fxy｜，则Fxy＝F，进给＋Y一步；否则联合进给＋Y、＋X各一步，F＝Fxy．如直线终点坐标为E（3，5），插补轨迹如图4所示．

其他6个区域的插补偏差坐标、联合进给坐标和插补公式按表2确定．

改进后的逐点比较法直线插补原理框图如图5所示．

图3 4个象限8个基础坐标区域图

图4 位于2区域直线的逐点比较法插补轨迹

表2 4个象限8个区域内直线的插补公式

3 改进后的逐点比较法直线插补特点

本文介绍的改进后的逐点比较法插补原理有如下特点：

（1）将传统的逐点比较法插补公式提炼成表2所示的两套公式，插补思路更加清晰，插补误差明显减小．

图5 改进后的逐点比较法插补原理框图

（2）改进后的逐点比较法框图符合结构化程序一进口两出口分支结构的特点，使得开发数控系统控制程序更加方便．

（3）该方法避免了有关文献所述方法中涉及的导数计算、斜率无穷大、三分支判断计算复杂等缺点．

（4）该方法通用性强，包括两条坐标轴方向的直线插补都包括在表2所示插补公式之中，避免了有关文献所述插补方法中出现斜率无穷大而难以处理的问题．

该方法已在作者开发的数控系统中得到了实际应用，效果很好．

［1] 马斌．逐点比较法的改进及软件实现［J] ．渝州大学学报，2002，19（2）：77－79．

［2] 高有行．对逐点比较法的改进算法［J] ．西安电子科技大学学报，1998，25（4）：299－303．

［3] 刘云．基于统一偏差判别函数的各象限直线的逐点比较插补算法［J] ．长春师范学院学报，2001，30（3）：1－4．

［4] 张涛，王晓明．实现步进电动机双轴联动的改进逐点比较法［J] ．化学工程与装备，2011（2）：6－7．

［5] 范希营，郭永环．提高数控系统基准脉冲直线插补速度及精度的研究［J] ．制造技术与机床，2010（3）：89－91．

［6] 吴祖玉，秦鹏飞．数控机床［M] ．北京：机械工业出版社，1992．

［7] 王敏．差分插补方法及其在数控线切割机中的应用（一）［J] ．电加工，1981（4）：16－22．