Weibull寿命试验数据的信息熵

王桂金

(原钢铁研究总院, 北京 100081)

服从Weibull分布的疲劳寿命在可靠性理论中占有重要地位[1-2]。与此相关的实测疲劳寿命数据应该是一组满足Weibull分布的随机变量，它们应给出符合Weibull分布要求的统计量。文献[3]讨论了在采用极大似然法求出Weibull分布的形状参数和尺寸参数的同时，如何把疲劳寿命数据的斜度和峭度应用于Weibul参数κ和λ的拟合，并得出结论：这3种方法得出的Weibull参数κ应该相一致。然而，由于可能存在多个解，仍需寻求最佳解的途径。文中沿用文献[3]中的100个随机产生的寿命和3组实测寿命数据，计算并比较相应的信息熵，进一步提出实测寿命数据满足随机特性，从而能够提供可靠Weibull分布参数应具备的条件。

1 信息熵的计算

1.1 计算方法

设含有N个疲劳寿命的数据组已经按文献[3]方法求得参数κ和λ，则其中寿命为x的数据具有的两参数Weibull概率密度函数为[1]

(1)

并且，这N个寿命的数据组具有Weibull总信息熵U(N) ，即

(2)

(3)

式中：pi为第i个寿命xi的归一化概率；u(i)为寿命xi对总信息熵U(N)的贡献。当N趋向无限大，求和就被积分代替。

1.2 100个无序排列Weibull随机寿命的信息熵 (κ=λ=1)

无序排列的100个随机寿命[3]的信息熵u(i)如图1所示。图中无序排列寿命的信息熵呈现随机分布，有3个寿命的信息熵接近于零, 它们对总信息熵U(100)贡献很小。

图1 100个无序排列随机寿命的信息熵

1.3 100个有序排列的Weibull随机寿命的信息熵 (κ=λ=1)

上节的100个随机寿命由小到大排列计算的信息熵如图2所示。

图2 100个随机寿命由小到大排列的信息熵

从文献[3]可知，有序排列的100个Weibull随机寿命的3种形状参数，即极大似然法κ(N)，斜度的κ(γ1,N)和过盈峭度的κ(γ2,N) 在两处相当接近：(1)在N=12处,κ(12)=1.743 25,κ(γ1,12)=1.781 71，κ(γ2,12)=1.985 32和λ(12)=0.072 671;(2)在N=100处,κ(100)=0.996 536，κ(γ1,100)=1.007 615，κ(γ2,100) =1.063 9和λ(100)=1.016 7。

有序随机寿命的信息熵变化很规则，从第1个寿命的信息熵u(1)=0.077 86单调降低到u(100)=0.000 754 2,u(1)∶u(100)=103∶1。显然, 随机寿命样本尺寸100已经足够大, 总信息熵4.411 245也趋近最大值。文献[3]指出这个有序随机寿命的3种形状参数分别在N=12 和N=100处接近重合。由于u(12)=0.069 97只略小于u(1)，前12个寿命数据得出的总信息熵U(12)只有0.896 7 , 远未达到最大值。因此,很容易理解为什么由这12个寿命得出的拟合参数κ(12)=1.743 25和λ(12)=0.071 267离开模拟随机寿命时选用的设定值κ= 1和λ=1甚远。与之相反,根据全寿命样本拟合的Weibull参数κ(100)=0.996 536和λ(100)= 1.016 7都非常接近于设定值1，并且其总信息熵U(100)=4.411 2已接近饱和。 这说明, 满足Weibull随机寿命要求的数据组应该同时满足以下2个条件：(1)由极大似然法求出的Weibull分布的形状参数和尺寸参数应同由疲劳寿命数据的斜度和峭度求出的Weibull参数相近或重合；(2)这组寿命数据的总信息熵趋近最大(饱和)。这样拟合得到的Weibull形状参数κ和尺寸参数λ是可靠的。

2 实测疲劳数据的信息熵

由1.3节根据随机产生的疲劳寿命拟合得到的Weibull形状参数κ和尺寸参数λ是否可靠, 还需要用实测疲劳寿命数据加以验证。为此本例沿用文献[3]中的3组试验数据进行计算。有关原始寿命数据请参见文献[5-7]。

2.1 1208K+H208轴承[5] 的Weibull参数和信息熵(37个样品)

从文献[3]可知，1208K+H208(以下简称1208)轴承的3种形状参数：极大似然法κ(N), 斜度的κ(γ1,N)和过盈峭度的κ(γ2,N)的走向同有序排列的100个模拟随机寿命相似,并且也在两处相当接近：(1)在N=15处,κ(15)=1.509 78,κ(γ1,15)=1.664 4，κ(γ2,15)=1.952 67；(2)在N=37处,κ(37)=0.955 55，κ(γ1,37)=1.101 04，κ(γ2,37)=1.149 38。 图3所示为1208轴承寿命的信息熵,其也呈单调下降, 从u(1)= 0.165 42减小到u(37)=0.003 871；u(1)∶u(37)=43∶1,u(37) 接近于零。但在N=15处,u(15)=0.108178 5,u(1)∶u(15)=1.5∶1, 因此，前15个寿命的总信息熵U(15)=2.09755显然还未达到饱和, 对应的Weibull参数κ(15)=1.50978和λ(15)=330.46 h是不可靠的。而全样本试验数据给出极大似然法κ(37), 斜度的κ(γ1,37)和过盈峭度的κ(γ2,37)则相当一致, 并且总信息熵U(37)=3.382738也接近饱和, 与1.3节有序随机寿命相似, 故可认为所得参数κ(37)=0.955 55和λ(37)=1 389 h是可靠的。

图3 1208轴承的信息熵

2.2 7208轴承的Weibull参数和信息熵[6](60个样品)

图4为7208轴承寿命的信息熵。由文献[3]可知，7208轴承寿命的3种形状参数：极大似然法κ(N),斜度的κ(γ1,N)和过盈峭度的κ(γ2,N)也有两处汇合点：(1)在N=11处有κ(11)=1.736 39,κ(γ1,11)=1.973 144，κ(γ2,11) =1.700 98及λ(11)=32.71 h；(2)在N=60处，有κ(60)= 1.024 43,κ(γ1,60)= 0.926 16，κ(γ2,60)= 0.931 825 及λ(60) =267.12 h。

图4 7208轴承的信息熵

7208轴承的Weibull信息熵从u(1)=0.106 152下降到了u(60)=0.0008155;u(1)∶u(60)=130∶1。然而在N=11处u(11)=0.094 735;u(1)∶u(11)=1.12∶1。这样,由前11个寿命计算的总信息熵U(11) =1.128 557显然未达到饱和。相应的Weibull参数κ(11)=1.736 39和λ(11)=32.71 h皆不可靠。而在N=60处, 全样本寿命总信息熵U(60) = 3.911 94已接近饱和, 相应的参数κ(60)=1.024 43和λ(60)=267.12 h是可靠的。

2.3 6307轴承的Weibull参数和信息熵[7](20个样品)

图5所示为6307轴承寿命的信息熵。从文献[3]可知，6307轴承寿命的3种形状参数：极大似然法κ(N)，斜度的κ(γ1,N)和过盈峭度的κ(γ2,N)在N=1～20都不够接近，在N=20处,κ(20)=1.577 66 ,κ(γ1,20)=2.175,κ(γ2,20)>5及λ(20)=175×106转。而且信息熵先从u(1)=0.130 288上升到u(6)=0.188 643， 然后下降到u(20)=0.038 556,u(6)∶u(20)=4.89∶1。这20个寿命的总信息熵U(20)=2.902 24也未达到饱和。所以拟合的Weibull参数κ=1.577 70和λ=175×106转是不可靠的。

图5 6307轴承的信息熵

实际上, 可从1.2节无序排列随机寿命数据中取前20个，再由小到大排列后进行计算可得:极大似然法κ(20)=0.955 07 , 斜度κ(γ1,20)=1.623 35 , 过盈峭度κ(γ2,20)=2.245 96 , 三者并不重合。并有λ(20) = 0.838 39。所以κ(20)=0.955 07虽然接近设定值,但是λ=0.838 39偏离设定值1较多。这20个随机寿命的信息熵:u(1)=0.218 78,u(20)=0.033 562,u(1)∶u(20)=6.518∶1。而总信息熵U(20)=2.825 11和6307轴承的数据接近。 这表明, 即使是随机产生的寿命数据,如果样本尺寸等于20,仍然无法同时满足1.3节中所提出的2个条件, 也就无法保证能拟合得到可靠的Weibull参数。

3 结论

以上结果表明, 有序排列的Weibull实测寿命数据具有随机特性的必要和充分条件是必须同时满足以下2个条件：

(1) 实测寿命数据在全样本的条件下,极大似然法κ(N), 斜度的κ(γ1,N) 和过盈峭度的κ(γ2,N) 3种形状参数十分接近或者重合；

(2) 实测寿命数据全样本的总信息熵趋近最大值，也即最高寿命试样对总信息熵的贡献接近于零。

为了满足上述2个条件，除了要尽量避免样品的系统误差和操作者的人为误差外, 还需要足够大的样本以保证取得可靠的寿命数据。当上述2个条件都得到满足, 拟合的Weibull分布形状参数κ和尺寸参数λ才足够可靠。