科学完整地理解质点

曾湘咏

（株洲市教育科学研究院，湖南 株洲 412000）

1 问题的提出

图1 平动的木板

案例1.一块长度为l的木板放在水平面上，其右端位于地面上的A点.用力推动木板，使其从图1所示位置水平向右移动.下列哪种情况可以将木板视为质点？

（1）测量木板通过A点的时间；

（2）测量木板移动等于自身长度的距离所用的时间.

由于木板的长度不能忽略，故（1）中不能将木板视为质点；由于木板上每一点的运动情况相同，故（2）中可以将木板视为质点.

事实上，（1）、（2）是完全等价的两种描述，且木板空间位置的变动没有任何差异，测量的时间也是一样的.然而，一个可视为质点，另一个却不能视为质点，真是匪夷所思.

案例2.在案例1中，设木板质量为m，水平推力为F，水平面光滑.求

（1）木板通过A点的时间；

（2）木板移动等于自身长度的距离所用的时间.

（1）、（2）都是利用质点的牛顿动力学和质点的运动学规律算出相同的时间.如果问题（1）中不能将木板视为质点，那为什么还能用有关质点的运动规律计算时间？

2 为什么要引入质点

物理学从力学开端，物理学的一些基本概念与方法最初也是从力学提出的.著名物理教育家和科学史家霍尔顿说：“无论从逻辑上讲还是历史上讲，力学都是物理学的基础，也是物理学及其他科学研究的典范.”力学研究的对象是机械运动，即物体位置随时间的变动.运动学研究如何确定物体的空间位置，如何描述物体的运动状态以及运动的内在规律.

实际物体的形状和大小是千差万别的，物体各部分的运动情况一般并不一样，要准确地描述物体的运动不是一件容易的事.物理学在研究客观存在的问题时，经常舍弃次要因素，抓住主要因素，透过问题的表象澄清事物的本质，构建理想化模型来解决和处理实际问题.质点就是在研究机械运动时采用的第一个理想化模型.质点模型忽略物体的具体形状和大小，突出了“物体具有质量”和“物体占有位置”两个特征.以质点模型代替实际物体，并非脱离实际，反而使人更深刻地抓住问题的本质.“正像画家几笔简练的素描往往更加传神一样，运用物理模型物理学家才能找到更为本质而普遍的规律.”［1］

此外，在研究一些比较复杂的物体（如刚体、流体）运动时，虽然不能把整个物体看成质点，但在处理方法上可把复杂物体看成由许多质点组成，在解决质点运动问题的基础上来研究这些复杂物体的运动.

可见，研究质点的意义有两方面：在物体形状、大小不起主要作用时，把物体看成一个质点；在物体形状、大小起主要作用时，把物体看成由许多质点所组成.研究质点的运动，是研究实际物体运动的近似和基础.因此，质点是集物理思想（建模思想）和方法（从简单问题着手，简化物体的运动）于一体的典范.

3 质点概念的界定

在处理实际问题时，可以设想将任一物体无限细分，把它看成由无穷多个微小单元组成.每一微元的广延小到可以不计，因而每一微元是一个有质量的物质点.这样的点称为理想质点.由此可见，物体总是由大量的理想质点组成的.因此，物体又叫质点组或质点系.

在实际的科学试验中，通常只能观测物体的运动，物体比理想质点复杂，但物体运动在某一方面的表现又可以用一个假想的质点表示，它是一种理想模型.这种用来代替物体的质点叫假想质点.［2］

理想质点和假想质点的关系见表1.

表1

在高中阶段，主要研究那些能够简化为质点的物体的运动，因而“用来代替物体的有质量的点叫做质点”［3］便成为中学物理定义质点的主流概念.然而，仔细分析后不难发现，上述“替代说”与“物体即质点组”是不自洽的.“在中学物理中是如何定义质点的？试举例说明这一定义适合于哪些情况，或者对哪些情况不适用.”［4］这说明部分高等教材已注意到质点的“替代说”定义并不具有普遍意义.

4 物体视为质点的条件

无论是高中物理教材，还是大学物理教材，在讨论是否可以将物体看做质点时，众说纷纭.即使是人教版高中物理教材，大纲版与新课程版也有不同.概括起来，主要有以下三种说法：

4.1 运动性质说

若不涉及物体的转动和形变，只研究它的平动部分，就可以忽略它的形状和大小，把它简化为一个具有质量的点来处理.［5］当物体平动时，无论它多大，其各个部分的运动情况完全相同，它的任何一点的运动，都可代表整个物体的运动.在这种情况下，可以把整个物体当做质点来看待.［6］

4.2 运动范围说

如果物体的大小远远小于物体的运动范围（或所研究的问题中的有关距离），问题又不涉及物体的转动，就可以用质点来代替实际物体.［7］

4.3 问题性质说

人教版高中物理教材新课程版最具代表性.以地球的公转、航天器的运行轨道和火车的整体运动为典型实例，论证并得出了“一个物体能否看成质点是由问题的性质决定的”.［8］

1、2两种说法都认为物体的平动是运用质点模型的必要条件，但后者要求更加严格.“物体的大小远远小于物体的运动范围”这个条件是从诸如描述一列火车在两个车站间行驶过程中位置变化及速度变化时可以将火车视为质点、研究地球公转时地球的半径远远小于日地间距离从而可以将地球视为质点等具体事例中提炼出来的.仔细分析这个苛刻的条件发现，即便满足“物体的大小远远小于物体的运动范围”，如果将物体视为质点，就无法回答“澳大利亚飞镖为什么能飞回原处（见图2）”等问题，这也是编著者要补充“问题又不涉及物体的转动”的原因，可见它不是一个充分条件；如若不满足这个条件，譬如物体的运动范围与物体的大小差不多甚至小于物体的大小，物体未必不能视为质点，如案例1中的情况（2），可见它也不是一个必要条件.人教版的问题性质说虽然简洁，但由于对“问题性质”没有明确的说法，显得笼统而不具体.仔细研读论证过程不难发现，“问题性质”原来就是指研究（或描述）物体的机械运动时暂不考虑物体的转动和形变.

因此，概括地说，对机械运动的研究（观测或描述）只要不涉及物体的转动和形变，一切物体都可以看成质点.

图2 神奇的澳大利亚飞镖

5 质点概念的延伸——质心

图3 两人相互抛掷一把斧头质心轨迹为抛物线

前面已经说明，任何物体总是由大量的质点组成的，物体又叫做质点组或质点系.按照动量定理，一个质点组的动量可以用质点组的质量与质点组的平均速度（按质量加权平均）之乘积来表示.换言之，一个质点组的运动状态，可以用一个设想的质点来表示，这个点的质量等于质点组的质量，这个点的速度等于质点组的平均速度.因此，可以用一个假想的质点来表示质点组（物体）.这个假想的质点叫做质点组的质量中心，简称质心.质心的实际位置决定于质点组的质量分布，与坐标系的选择或原点无关.引入质心的概念，其重要性之一是使人们对牛顿运动定律的认识得到了发展.牛顿运动定律不仅适用于单个质点也适用于质点组，只是质点组的运动状态由质心来表征.当人们只需关注物体的整体运动情况时，不管它是不发生形变的刚体（图3），还是可以形变的柔体（图4），无论是爆炸（图5）［9］还是旋转（图2），都可以用质心这个假想质点来描述.

图4 跳水运动员质心轨迹为抛物线

图5 炮弹在空中爆炸质心轨迹为抛物线

6 澄清一些模糊认识

6.1 在计算或测量火车过路标、桥梁、隧道的时间问题中，火车能不能视为质点？

笔者通过调查发现，无论是教师还是学生，都给出了否定的答案，追问理由，也惊人的相似：火车的长度不能忽略.在笔者提出案例1、2中的问题后，又都不能自圆其说.

由于不涉及车轮的转动，火车过路标、桥梁、隧道的时间问题都可归结为案例1、2中“长木板”平动类型.在这类问题中，木板的长度虽然不能忽略，但其长度并不影响我们标记木板的空间位置（譬如用质心表征）以及对位置变化的观测，在任何参考系中我们都可以对其运动进行准确描述.“木板通过A点”其实质是木板位置的变化，只是位置变化的效果（即位移）等于木板的长度而已.事实上，对木板平移的长度没有任何限制，当然包括平移自身长度.因此，由于不涉及车轮的转动，在计算或测量火车过路标、桥梁、隧道的时间问题中，火车当然可以视为质点.

也可以从另外的角度来理解上述问题.其一，若火车不能视为质点，则表明问题“并不简单”，用质点代替火车时不能解决问题，或处理问题时不够精确.事实恰好相反，该问题是“相当的简单”，小学数学课程和初中物理课程中都有类似的问题，而这些问题中所给的“火车速度”实质是火车质心的速度，只是学生在无意识中利用了质心这个假想质点的运动规律求出了火车运动的时间罢了.其二，下面提供的案例是2011年全国高考理综新课程卷的一道物理实验题，其中涉及了利用“光电门”对直线运动的研究.

图6 测滑块的加速度

案例3.利用图6所示的装置可测量滑块在斜面上运动的加速度.一斜面上安装有两个光电门，其中光电门乙固定在斜面上靠近底端处，光电门甲的位置可移动.当一带有遮光片的滑块自斜面上滑下时，与两个光电门都相连的计时器可以显示出遮光片从光电门甲至乙所用的时间t.改变光电门甲的位置进行多次测量，每次都使滑块从同一点由静止开始下滑，并用米尺测量甲、乙之间的距离s，记下相应的t值，所得数据如表2所示.完成下列填空和作图：

表2

（1）若滑块所受摩擦力为一常量，滑块加速度的大小a、滑块经过光电门乙时的瞬时速度vt、测量值s和t四个物理量之间所满足的关系式是________.

显然，案例中滑块的位置是用遮光片来标记的，它代表了整个滑块的运动，滑块的长度对其运动的观测（运动时间、位置变化）没有任何影响.另外，在现行的所有高中物理教材中，通过让小车牵引纸带，利用打点计时器在纸带上打下一系列的点来研究物体的运动，无一例外地都将物体（小车）视为质点.

6.2 可以离开对物体运动的研究或观测来谈论质点吗？

案例4.瓢虫身上的星数（斑点）显示的是它的种类，而不是它的年龄.在研究瓢虫的星数、爬行轨迹、飞行路径、翅膀扇动等问题时，什么情况下可以将瓢虫视为质点？［3］

编者进行学科渗透的意图是值得赞赏的，但研究瓢虫的星数与研究瓢虫的运动相去甚远，生物学家在研究瓢虫时未必有“质点”的概念，但并不妨碍他们对瓢虫进行研究.这种离开对物体的运动去进行研究或观测来谈论质点的问题，只触及质点的表象（不计形状和大小）、却没有触及质点的“内核”——物理思想和方法的统一，是没有“物理味”的非物理问题.类似的，“对学生骑车姿势进行生理学分析”、“观看芭蕾舞演员表演”、“裁判给跳水运动员打分”等是否可以将学生、演员和运动员看成质点的问题，虽然涉及到了物体的运动，但分析、观察、评判问题的角度仍是“非物理的”，是没有物理意义的问题.这些出自高中教辅资料的“非物理”问题，反映了部分物理教师对质点理解上的缺失.

7 结论

质点分理想质点和假想质点，质心是质点概念的延伸，既体现了物理学思想又体现了处理问题的方法；在研究和观测运动时，只要不涉及转动和形变，物体就可以视为质点，离开对物体运动的研究或观测去谈论质点是没有物理意义的.

1 赵凯华，张维善.新概念高中物理读本.第1册.北京：人民教育出版社，2006.

2 王楚等.基础物理教程力学.北京：北京大学出版社，1999.

3 保宗悌.物理（必修1）.广州：广东教育出版社，2010.

4 王楚等.基础物理教程力学.北京：北京大学出版社，1999.

5 杨维纮.力学（第2版）.合肥：中国科学技术大学出版社，2004.

6 李复.力学教程（上）.北京：清华大学出版社，2011.

7 梁昆淼.力学（第4版，上册）.北京：高等教育出版社，2011.

8 张大昌.高中物理必修1.北京：人民教育出版社，2010.

9 赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程.力学（第2版）.北京：高等教育出版社，2004.