一类分数阶微分方程多点边值问题解的存在唯一性

吴婷，顾长超



一类分数阶微分方程多点边值问题解的存在唯一性

吴婷，顾长超

（安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥 230039）

Caputo导数；边值问题；Green函数；不动点定理；存在性；唯一性

1 预备知识

利用不动点定理研究非线性分数阶微分方程多点边值问题

下面给出分数阶微分方程的Green函数.

有唯一解：

其中

式（3）称作边值问题（2）的Green函数.

证明 由引理1和引理2，先将式（2）转化成等价的积分方程

因此，式（2）的唯一解是

引理4 式（3）给出的Green函数满足下列性质：

2 主要结果

首先，给出以下条件：

为方便引入下面的记号

则有下面的结论：

从而得到

同时有

因此

由范数的定义得

从而有

从而有

因此

第二个结果是利用压缩映像原理得到边值问题（1）解的唯一性的一个充分条件：

同时有

由压缩映像原理可知，边值问题（1）有唯一解.

3 举例

例1 考虑如下边值问题

例2 考虑如下边值问题

显然式（6）满足定理2的条件，于是有

由定理2，边值问题（5）有唯一解.

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Existence and Uniqueness of Solutions for a Class of Multi-point Boundary Value Problems in Fractional Differential Equations

WUTing, GUChang-chao

(School of Mathematical Sciences, Anhui University, Hefei 230039, China)

The paper is concerned with the existence and uniqueness of solutions for a class of multi-point boundary value problems of fractional differential equations by the use of the Schauder fixed point theorem and the contraction mapping principle. Two examples are given to illustrate the results at the end.

Caputo derivative; boundary value problem; Green function; fixed point theorem; existence; uniqueness

1006-7302（2012）03-0028-07

O175.8

A

2012-03-12

教育部博士点基金资助项目（20113401110001）.

吴婷（1988—），女，安徽省安庆人，在读硕士生，研究方向为微分方程.