以理想角度作两点透视图的一种简画法

邱 冰， 张 帆,

（1. 南京林业大学风景园林学院，江苏 南京 210037；2. 东南大学建筑学院，江苏 南京 210096）

在建筑设计领域里，随着绘图软件的普及和升级，计算机取代了传统制图工具成为绘制建筑方案终结性表现图的主要工具。但手工绘制建筑透视图的技术仍然具有重要用途，比如在方案构思时，手工绘图使思维、图像、眼睛和手之间的互动更为流畅。再如快速建筑设计是建筑学研究生入学考试和设计单位招聘面试的必考科目，手工绘制的建筑透视图被视作衡量考生专业素养的重要依据。

多数观点认为，在考试中按照透视学的方法求解透视图比较费时，考生一般凭经验绘制，因此常出现图中建筑形体变形或体量偏差较大等弊病，影响了设计信息的正常表达。笔者通过多年的建筑制图教学实践，总结出以理想角度作两点透视图的一种简画法，这一方法立足于尺规作图，适用于方案构思阶段表现图的绘制，在快速建筑设计中更能显示其优越性。

1 相关研究概述

透视图的基本求法有2种：视线法（或称平面投形法①关于建筑制图的假设依据，目前我国主要采用“投影”概念，透视图被称为“中心投影”，但有极少数的文献采用的是“投形”概念，如东南大学建筑学院钟训正院士编著的《建筑制图》。笔者在教学中选用的教材为钟先生的《建筑制图》，因而将“视线法”称为“平面投形法”。“投影”和“投形”这两套体系在理论解释上有差异，但作图结果一致。）和量点法。长期以来，国内的学者在此基础上从各种角度切入研究透视图的画法，主要分为3个方向：

1）原理的数据化。一些研究者致力于将透视原理转换为计算机编程语言，促进“人画”转变为“机画”[1-6]。个别文献则是为了探求以透视图反求出具体尺寸[7]的方法，指导三视图的设计。

2）辅助工具的开发。具体研究分2种思路展开：物质化的透视尺和图纸中的透视网格。同济大学研制的一种“四连杆”的透视图仪通过了正式鉴定，并于1984年5月在南京举办的全国建筑科技成果交流、交易会上展出，得到好评[8]。于习法等通过研究两点透视图中2个灭点和与之相对应的2个量点之间的几何关系，设计了一个以丁字尺为主体的透视图尺[9]。李孝宋在“建筑透视图的解析画法”一文中展示了一种透视坐标网格，用于绘制具有复杂外形的建筑的透视图[10]。与此类似，麦俊年采用透视坐标计算的方式设计出一种“不懂透视的人”也能使用的透视轴测尺[11]。

3）透视图的简画法研究。一部分文献侧重于研究某些特定情况下的简画法，如许有伦提出了灭点在图外时不求灭点而用几何作图求作长方体的两点透视图的方法[12]；李强提出了灭点在图外时采用“分量点”的透视图画法[13]；刘兴辰研究了视平线在图纸外时透视网格的简易画法[14]。另一部分文献则旨在简化作图步骤，增强作图的灵活性，如李武生分析了量点法的构图规律和函数关系，使灭点和相应量点的关系数据化[15]，省略了根据平面图、视点求灭点、量点的步骤；于习法等人提出了一种“随心所欲”[16]的画法；宋业存探讨了形成“理想透视图”的物体、视点的位置[17]。

总结以上研究的主要成果，可归纳出：第一，大部分文献偏重于研究透视原理中的数据关系，论证过程和结果以公式计算为主，对于“机画”极为必要，但对于“人画”则显得繁琐，必须熟记计算方法，方可作图；第二，多数文献所运用的原理单一，较少地考虑原理之间的协同作用，如文献[13]和文献[16]结合即可产生更为巧妙的方法；第三，透视图辅助工具的使用均有一定的规则和条件，在快速建筑设计和方案构思中显得不够简便，易打断快速作图和思考过程的连续性。

2 “简画”的基本思想

为了方便表述，首先将透视符号术语统一如下：

1）P.P.：透视画面（Perspective Plane）

2）Mx、My：量点（Measuring point）

3）Vx、Vy：灭点（Vanishing point）

4）E：视点(Eye point)

5）H.L.：视平线（Horizon line）

6）G.L.：地平线（Ground line）

7）T.H.：真高线（True Height）

在手工绘制透视图时，一般不采用视线法求解，因为视线法必须利用平面图作图，图幅较大，但所得透视图却极小。在实践中，绘图者大多运用量点法作图。但量点法的作图过程存在如下问题：首先为求得理想角度需反复试验E点的位置和视角的取值；其次在两点透视图中，如果所得建筑透视图的高度不小于10cm，且两个灭点都在图面内，那么图幅至少为A2（虽然已远优于视线法，但仍不够理想），工具为90 cm规格的丁字尺；第三，透视图在图中位置受到灭点的限制。针对这些问题，文章尝试从以下4方面寻求突破点：

（1）简化作图程序，省略根据平面图、视点求灭点、量点的步骤，直接求得效果理想的透视图形；

（2）简化作图条件，缩小作图所需的图幅，使透视图在图纸版面中的位置基本不受限制；

（3）简化作图工具，避免采用计算的方式和特殊的辅助工具，使用普通圆规和尽可能短的直尺作图，简化作图动作；

（4）整合简画原理，不能孤立地研究上述3点的简画方法，应使它们发挥协同作用，最大限度的简化作图过程，缩短作图时间。

3 “简画”的原理归纳

3.1 原理1：理想角度的定位

设定透视方向x、y为垂直关系，过E分别作Ox、Oy的平行线与画面P.P.相交得灭点Vx′、Vy′，则EVx′⊥EVy′，即E在以Vx′Vy′为直径的半圆上。根据量点的原理，Mx、My是分别以对应的灭点为圆心，以灭点到E的直线距离为半径作圆与画面P.P.相交所得的交点，如图1所示。

当 Vx、Vy确定时，如图 1所示，E可在以Vx′Vy′为直径的半圆上滑动，无论在哪个位置，立方体都有一个对应的角度[18]。图中 E1、E3对应的透视图形有较明显的失真现象，E2则正常，此时的透视图形处于 Mx、My之间。笔者通过反复作图试验发现，当满足如下条件②令透视图形处于Mx、My之间的参数有：同一作图比例下物体长宽与灭点间距的比值、E点的位置、视距、O点的位置等，较为复杂。笔者目前尚不能给出某种包含参数的关系式来反映当透视图形处于Mx、My之间时E在O点处垂线两侧的摆动范围，因此，凭反复作图验证得出了文中的2个条件，属于经验总结。时，透视图形处于Mx、My之间：

1）在同一作图比例下，VxVy长度与建筑长宽的比值要大，即主立面的灭点Vy远离O点，使其透视图形平缓；

2）E点尽可能接近物体的O点所在垂线，在其左右皆可。

以一个长方体为例，运用上述规律求作透视图。在图2中，定出Vx、Vy，AOFC为主立面，为使其透视图形平缓，Vy远离O点。在透视图上方作一条平行于H.L.的直线P.P.，作Vx、Vy在P.P.上的垂足 Vx′、Vy′。以 Vx′Vy′为直径作半圆。延长OA，在半圆上离OA较近的位置（左右皆可）取一点 E，分别以 Vx′、Vy′为圆心，EVx′、EVy′为半径作圆弧与 P.P.交与 Mx′、My′，反求出 H.L.上的Mx、My。求得的长方体透视图处于Mx与My之间，图形效果理想。基于这种以理想角度求解建筑透视图的方法能较好地表现建筑形象，并省略了根据平面图、站点求灭点、量点的步骤。但缺点是未能解决图幅较大的问题，且Vx、Vy必须在图板内。

3.2 原理2：灭点在图板外时的透视求法

当灭点Vy在图板外时，如果不借助于上述文献中的辅助工具或方程式，仅凭尺规作图，则需通过设置辅助灭点来求解垂直面和水平面上往 y方向消失的透视线。

如图3所示，已知G.L.和 H.L.和由B往V1方向消失的透视线及高度AB、AC、AD，求A、C、D向V1方向消失的透视线。在G.L.上任作一垂线 A′B′=AB，在该垂线上量 A′C′= AC、A′D′=AD。在 H.L.上任取一点 V，连 B′、C′、D′、A′与V。VB′交 B往 V1方向消失的透视线于 b，过 b作垂线分别交 V A′、V C′、V D′于 a、c、d 点。由透视基本规律可知，Aa、Cc、Dd均为往V1方向消失的透视线。这一原理解决了垂直面上水平线的消失问题，其中V为辅助灭点，A′B′为辅助真高线。

图3 灭点在图板外时垂直面上透视线的求法

水平面上往y方向消失的透视线可利用辅助灭点V45来求得。以图2中的长方体为例，如图4所示，平分直角∠DAB，得∠B2AB=45°。ABB2B1为正方形，AB2为对角线，过E作AB2的平行线交P.P.于V45。在透视图中，通过Mx、My求得B、B1的透视 b、b1，连 b1、Vx得 B1B2的透视线，连A、V45交b1Vx于b2，bb2即为B往y方向消失的透视线。灭点在图板外时的透视求法大幅度缩短了作图直尺的长度：30cm即能满足使用要求。

图4 灭点在图板外时水平面上透视线的求法

3.3 原理3：分量点的用法

当一个灭点在图板外时，原理1中图2所示的方法因缺少条件而无法求得量点，这时可通过相似形来反求量点、灭点。如图5所示，通过任意设置一个辅助点T将Vx、Vy、Mx、My、E所形成的几何关系进行等比例缩小。在以VxVy为直径的半圆上方任意位置画一条与 H.L.平行的直线H.L.′，连 T 与 Vx、Vy、Mx、My、E，分别交 H.L.′与 Vx′、Vy′、Mx′、My′、E′，求得一个等比例缩小的相似形。在无法直接通过Vx、Vy求取Mx、My时，便可利用这个缩小的相似形进行反求。Mx′、My′被有的文献称为分量点[13]，按这一逻辑，可称 Vx′、Vy′为分灭点。如果作图需要用到辅助灭点如 V45，也可用这个方法求取。分量点的原理解决了一个灭点在图外时原理1的应用问题，并大幅度缩小了作图图幅。

图5 以相似形求量点、灭点

4 “简画”的原理整合与作图验证

经研究发现，整合上述3点原理的关键是使某些关键点、辅助点多功能化。以图6中建筑为例阐述3者整合过程及其应用方法。

图6 建筑实例的平、立面

步骤 1 原理1的应用。在图7中，按比例定视高，一般取H=1.6 ～1.7米，建立H.L.、G.L.。根据图面排版需要在G.L.定O点，作真高线T.H.，按比例量取OA高度。过A点往y方向作透视线，尽量远离H.L.，使该立面的透视平缓，Vy在图板外。于OA另一侧定Vx，为作图方便，将Vx放在图板内。

图7 分灭点的求取

步骤 2原理2与原理3的整合。如图7所示，在A点上方某一位置作一条平行于H.L.的直线H.L.′，延长OA至T点（T点位于H.L.′上方任意位置）。过A点往y方向量取A′点，AA′等于建筑主立面的面宽nLy（n为比例因子），过A′作垂线 O′A′，反向延长至 T′点，令 A′T′= A T。连 A′、T′与 Vx，其中 A′Vx交 AVy于 a′。过 a′作垂线，交T′Vx于 t′，连 T、 t′。按照原理 2，T t′为往 Vy方向消失的透视线。T t′与 H.L.′的交点为 Vy′，即原理3中的分灭点。连T、Vx交H.L.′得另一分灭点Vx′。为方便后续作图，可擦除 A′Vx、T′Vx、t′、a′。这一步骤中，在真高线上的T点使Vx具有2种功能：① 原理2图3中的辅助灭点V；② x方向的灭点。T点本身也具有2种功能：① 原理2图3中的B点；② 原理3中的辅助点T。T、Vx的多功能化使原理1在一个灭点缺失时仍能发挥作用，求得的 Vx′、Vy′使原理 3的应用具备了条件。

步骤 3原理1与原理3的整合。在图8中，以Vy′Vx′为直径作半圆，并于T（O）所在垂线附近取一点 E′（保证透视图形在两个量点内部），分别求出分量点 Mx′、My′及辅助灭点 V45′，与 T连，反向延长至H.L.，反求出Mx、My和V45。连A′My、O′My，得 b、c，求出建筑主立面的面宽。由于T及A′O′位置的选择，巧妙地使My具有了2个作用：① y方向的量点；② 求y方向垂直面上透视线的辅助灭点，相当于原理2图3中的V点。

图8 量点的反求

步骤 4量点法一般原理的应用。在以上步骤的基础上，按照原理2的方法利用My、V45及量点法的一般原理完成余下的内容。在利用量点Mx、My时，可在 G.L.或 A点所在水平线上分别量取，减少作图线的相互干扰。若要精确作图，可在G.L.下方再作一条G.L.′，用其求出建筑的透视平面，再回到H.L.上进行量高，作出完整的建筑透视图，如图9所示。

图9 完整的作图结果

在实际运用这种以理想角度作两点透视图的简画法时，绘图者不必完全按照图9的过程作图，可依据需要进行取舍。步骤1至3是建筑透视图具有理想的角度、准确的体量的保证。步骤4中利用My求垂直面上的透视线的作法方便、快速，建筑立面上的量高应按此方法作图。水平面上往y方向的透视线可酌情求取：反映建筑形体转折的透视线利用V45来准确求取；而对于一些无关紧要的透视线，比如门窗凹进的厚度则完全可以按照经验估计。如此，可进一步提高作图速度。在方案构思表现和快速建筑设计中，不必苛求每一处透视线、透视宽度的绝对精确，只需保证透视大关系和建筑体量准确，能正确表现设计信息即可。

5 结 束 语

综上所述，如能巧妙地整合透视原理中的各种几何关系，可得到简洁、有效的作图方法。从透视学的基本原理中归纳出的3条特殊原理各具特点：原理1界定了建筑透视图的理想角度，简化了作图的准备工作；原理2大幅度缩短了作图直尺的长度；原理3大幅度地缩小了按透视学原理作图所需要的图纸幅面。文中的简画法通过使关键点、辅助点多功能化，利用原理2融合了原理1和原理3，充分发挥出了3者的协同作用，从而同时简化了作图程序、条件和工具。无须计算，无须事先根据平面图确定画面和视点等的位置及视角的大小，无须采用特殊的作图仪器，利用普通尺规便可轻松地画出表现效果理想的透视图。希望该方法对建筑师和在校学生在进行设计方案的快速构思、手绘效果图的创作及参加快题考试时能发挥一定的功效。

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