用多面体逼近球体及其在工业设计中的应用

黄 穗， 韩春明

（1. 中国电子科技集团公司第三十八研究所，安徽 合肥 230088；2. 合肥工业大学建筑与艺术学院，安徽 合肥 230009）

多面体具有丰富的几何表现力，在人类的生产生活中具有广泛的应用，如图1所示。因此，关于多面体的各种研究也在广泛开展，探讨多面体的构成[1-2]，以及其在装潢[3]，机械加工[4]，包装[5-6]，服装[7-8]，三维人体建模[9]，建筑[10]，地质[11]，化学[12]等方面的应用。

无论是在建筑设计、产品设计、雕塑创作还是其他艺术设计中，球体是经常被运用的设计元素。但由于受到材质、工艺、技术、成本、视觉效果等诸多因素影响，现实中的球体造型往往用多面体来代替，如图2所示。图3是计算机辅助设计中常用的两种用来表示球面的网格，其实也是多面体对球体的逼近。

目前，对多面体表示球体的方法已有大量讨论和研究，比如采用切割、变形等多种几何方法使多面体逐渐达到近似球体的效果[13]。在此基础上，本文提出了用多面体逼近球体的评判准则，以及在这些准则下改进逼近效果的方法。最后以实例说明多面体逼近球体在工业设计中的应用。

图1 多面体造型示例

图2 用多面体构建的球形建筑和产品

1 多面体逼近球体的评判准则

用多面体逼近球体，即是用多边型构成的封闭表面去近似地表示球面。球面是距空间一定点为等长的所有点构成的光滑的凸起封闭曲面，此曲面上任何一点与其它点的地位都是平等的，因此很自然地对逼近它的多面体有如下规则：

1）每个顶点处的多面角的各平面角之和小于360°，但越接近于360°越好；

2）每条棱处的二面角小于180°，但越接近于180°越好；

3）有外接球面，即各顶点共球面；

4）有内切球面，即各个面与同一球面相切；

5）各顶点在空间分布得尽量均匀，因此各面尽可能为正多边形，且各面的面积差别越小越好；

6）多面体表面各点到被逼近球体的球心的距离越接近越好，即表面上点离中心最远的距离与最近的距离之比（姑且称之为远近比）越接近于1越好。如外接球面和内切球面都存在，则它们的半径越接近越好，且要求尽量共心；

7）顶点、面和棱尽量少，以降低建造成本，增加结构强度。

以上规则反映了球面的特性，例如规则1），既体现了球面的弯曲性质，又对其光滑性作了要求。若各平面角之和等于360°，则组成此多面角的各面或其中部分面共面，于是此多面角的各棱或部分棱就成为多余。而各平面角之和越接近于360°，则多面体的表面就越光滑。规则 2）也是如此。

上述规则未必都能满足，但满足得越多越好。例如，在现实中有些逼近球体效果很好的多面体，其外接球面和内切球面未必同时存在，图3中的两种网格就是，后面还会用其它实例说明。而且各规则未必都能被同时兼顾，例如规则7）和前几条，应根据具体情况综合权衡。

图3 计算机辅助设计球面的两种常用表示方法

2 改进逼近效果的方法

对已有的近似于球体的多面体，一般常用以下两种方法对其逼近效果加以改进：

1）削去顶点，形成一新的多边形面，其边数等于原顶点处多面角的面数，如图4所示，削去顶点A后，形成新的四边形面BCDE。

图4 削去多面体的顶点

用初等几何的方法即可证明，在新多边形各顶点处的多面角，其各平面角之和都大于被削顶点处各平面角之和。这是对规则1）的逼近效果的改进。

多面体表面到被逼近球体的球心距离最远的点在顶点处，因此削去顶点后，多面体表面各点到球心的距离更加接近。这是对规则6）的逼近效果的改进。

2）多面体表面各多边形向其中心收缩，则产生削去原多面体顶点和棱的效果，在原顶点处产生新的多边形面，边数与该顶点处多面角的面数相同，在原棱处产生新的四边形面。

图5中，顶点A周围各面收缩后，顶点A被削去，产生了一个新的四边形（多面角A为四面角），棱AB被削去，产生一个新的四边形。

图5 多面体表面收缩，顶点被削去，产生新的多边形，被削去的棱处出现新的四边形

易证多面角被削去后，在所产生的多边形各顶点处的多面角，其周围平面角之和都大于被削多面角周围平面角之和。而且，收缩后的面的各边处的二面角大于相应被削去的棱处的二面角。如图5右图中，顶点C处周围各平面角之和大于中图中顶点A处周围各平面角之和；右图中棱CD处的二面角也大于中图中棱AB处的二面角。

这样一来，规则 1），2），6）的逼近效果都得到了改进。

3 正多面体对球体的逼近效果及改进

正多面体是由同种正多边形为面构成的多面体，其各顶点和各面分布得最均匀，且具有同心的外接球面和内切球面。由于多面体的棱数E，面数F和顶点数V必须满足欧拉公式故正多面体只有5种（也称柏拉图立体[13]），即正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体（图6）。显然正多面体中，正十二面体和正二十面体对球体的逼近效果较好。表1对这两种正多面体的逼近效果作了比较。

对正多面体可进一步改进使它们更好地逼近球体。一般可采用如下两种方法。

方法1削去顶点，在每个顶点处截去一个正多棱锥，则原顶点处产生一个新的正多边形面，而原顶点被每条棱上新产生的两个顶点代替。若ViVj为原来的任一条棱，现被截成Vi'Vj'，其中0＜α＜ 1 /2。表面上原来的正n边形变为2n边形。

图6 5种正多面体

表1 正十二面体与正二十面体逼近球体的效果比较

方法2 表面收缩。若原表面为正n边形， 其顶点为则收缩后的多边形顶点为 {Pk'},k= 1 ,… ,n，其中原顶点和棱都被削去，其原位置分别产生新的正多边形和矩形。

下面以正二十面体为例，采用上述两种方法进行改进。

使用方法1，在顶点处削去一个正五棱锥，形成一个正五边形面。选取α=1/3，使原来的棱保留中间的三分之一，三角形面被截成一个正六边形（图7）。这样得到的多面体表面由12个正五边形和 20个正六边形组成，这是一个半正多面体（由几种边长相同的正多边形围成的立体，也称阿基米得立体），表面有60个顶点，每个顶点为两个六边形和一个五边形形成的三面角的顶点，3个平面角之和为348°。两个相邻六边形构成的二面角即原正二十面体相邻面构成的二面角，其大小约为 138.19°（余弦值为而相邻的五边形和六边形构成的二面角约为 1六边形面由原三角形切去3个角形成，故仍与原内切球面相切。显然各顶点到原正 20面体的中心的距离相同，因此有外接球面，易算得外接球面与原内切球面的半径比（也是远近比）为。与12个正五边形相切的球面半径与原内切球面的半径比为这就是说，改进后的多面体表面的12个正五边形和20个正六边形分别与两个同心的球面相切，这两个球面半径略有不同（相差约1.02653倍），因此此多面体无内切球面。为使多面体的两种正多边形与相同的球面相切，可适当增加被截五棱锥的高度，使截得的正五边形中心到多面体中心的距离等于原内切球面的半径，但六边形不再是正六边形，六边形与五边形的公共边略大于六边形之间的公共边。

图7 正二十面体削去顶点

使用方法2，收缩表面三角形，削去原多面体的顶点和棱，在原顶点处出现正五边形，而在原有的棱处出现矩形。当时，三角形的边长收缩为原边长的≈ 0 .35倍时，两三角形之间的矩形为正方形，这样原来的正20面体成为由边长相同的正三角形，正方形和正五边形围成的半正多面体，如图8(a)所示。此多面体有 60个顶点，各顶点到多面体的中心的距离相同，即在以多面体中心为球心的外接球面上。多面体的表面由 20个正三角形，30个正方形和12个正五边形构成。每个顶点处为四面角，分别为一个正三角形的内角，两个正方形的内角和一个正五边形的内角，它们的和为348°。三角形与正方形之间的二面角约为159.1°（其余弦为正方形与正五边形之间的二面角约为 148.3°（其余弦为

此多面体的中心到其表面各正多边形的最近点都是各正多边形的中心，而三角形中心到多面体中心的距离即为原二十面体的内切球面半径r。若记正五边形和正方形的中心到多面体中心的距离分别为r5和r4，外接球面半径为R，有R:r:r4:r5= 1 .0352:1:0.982:0.957，且其中最大与最小者之比（远近比）R:r5= 1 .081555672。

由此可见，表面收缩法改进正二十面体逼近球体的效果比顶点削去法好。其实表面收缩法的远近比还可减小。取时，三角形的边长收缩为原边长的 1 -3α≈ 0 .4428倍，这时正五边形与正三角形的外接圆半径相等，因此正五边形与正三角形的中心到正多面体的中心距离相等，五边形的边长小于三角形的边长，四边形不再是正方形，但各多面角和二面角不变，如图8(b)所示。四边形（矩形）的外接圆半径（即对角线之一半）小于五边形和三角形的外接圆半径。因此，矩形中心到多面体中心的距离大于五边形或三角形中心到多面体中心的距离，其比值约为 1.00052。所以这时的远近比即为多面体各顶点到多面体中心的距离与三角形（或五边形）中心到多面体中心的距离之比，约为1.05566。

图8 20面体经过面收缩后得到的多面体

从远近比来看，取α= 0.1857的效果比α=0.21654的效果好，但视觉效果并不好，这是因为正方形变成矩形后，正五边形周围5个正三角形和矩形围成的十边形不再是正十边形，如图8所示，而且右边的多面体中，以正五边形为顶的台体似乎更尖更凸。

4 多面体对球体的逼近在工业设计中的应用

相比于其他立体几何形态，球体表面光滑，形态匀称，能带给人柔和感和亲切感。因此在工业设计尤其是产品造型设计中得到大量应用。但是，由于审美的需要，光滑球体经常用多面体来近似表达，以突出丰富的视觉效果和层次感。图9所示为一款项链的水晶吊坠设计，其看似球体的造型实际上是由切割后的多面体构成。在这里，用多面体近似表示球体可以增强水晶的折射度，充分展现水晶的光彩，同时球体的表达效果也没有被削弱。而如果直接采用光滑的球面作为造型，则无法突显其质地的华丽璀璨。

图9 用多面体近似表达球体的水晶吊坠

除审美需求外，材料或工艺的限制也会使设计师考虑用多面体来代替球体达到效果，例如用钢梁构建球形框架，用平板材料构造球型容器，用小块皮革拼缝球类的外壳等，例如图2。以足球为例，多数足球的外壳是用 20个正六边形和12个正五边形的皮块拼成的，这正是图7所示的削去正二十面体的顶点而得到的半正多面体，打足气后，多面体外壳被撑成球体。尽管图8所示的由二十面体表面收缩所得的多面体对球体有更好的逼近效果，但所呈现的视觉印象过于“零碎”，表面面数太多，反而会增加成本和加工复杂性，同时还可能降低结构强度。综合考虑制造工艺、成本、结构强度、美观效果等因素，对足球而言，图7的方案应该更加可行。但在其它场合，例如球型建筑，大型球型容器，文献[13]提出的包括图8的各种方案也不失为很好的选择。当然，根据本文所提出的逼近原则和实际对象的具体特性要求，还可设计出更加丰富多彩的产品外观造型。

5 结 论

本文讨论了用多面体逼近球体效果的评判标准和改进方法，并以实例说明这些方法在工业设计中的应用。从文中的实例可见，各标准之间往往不能同时兼顾，需要根据实际情况加以权衡。在实际应用中，应根据各种需要的轻重缓急分别尽可能地给予满足。

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