关于一个二元整数函数正负性的研究

李 强

（大庆职业学院工商管理系 黑龙江 大庆 163000）

0 引言

我们要研究的二元整数函数为：

此问题源于我们要论证的一个数论问题，本文的目的就是考查该函数在其定义域内函数值符号的变化情况.

1 引理及定理

此结果可借助函数的导数知识简单推得，故略.

引理2当n≥7时，有：

容易验证当n=7，8，9时，上式也成立.命题得证.

定理 1 当 k≥n≥2 时，有：f（k，n）＞0.

证明 当n＝2时，根据引理1有

由（4），（5），（1）式知，定理成立.

定理 2 当 n≥7，2≤k≤n-1 时，有：f（k，n）＜0.

证明 当 n≥7 时，有：n－1≥6.

由（1）式知，定理成立.

根据定理 1 知，阵列（f（k，n））（k≥2，n≥2）的对角及下三角块上的元素都为正数。而由定理2，当列数n≥7时，上三角块中的元素均取负数.再经过验知：f（2，3），f（2，4），f（2，5），f（3，4），f（4，5），f（5，6），取正，而 f（2，6），f（3，5），f（3，6），f（4，6）取负.综上，我们可得下表.

表1 二元整数函数f（k，n）的符号变化（空白代表函数在该处的取值为负）

具体地，我们通过MATLAB编程计算出了当2≤k，n≤9时，二元整数函数 f（k，n）的取值情况.

由表2可见，表1所得到的结果是完全正确的.

表2 二元整数函数f（k，n）的部分函数值

2 小结

本文通过函数的单调性等相关知识，探求了二元整数函数f（k，n）函数值符号的变化规律，得到如下结论：

函数 f（k，n）在其定义域｛（k，n）｜k≥2，n≥2，k∈N，n∈N｝内各点处的取值均不为零.其中，位于阵列（f（k，n））对角及下三角块上的元素均取正号，位于上三角块中的元素当列数n≥7时取负号，而当列数2≤n≤6时，需要计算才能确定其符号.

上述结果不仅利于我们对二元整数函数 f（k，n）性质的理解，还能从中生成系列不等式.例如：当n≥7，2≤k≤n-1时，有：

而不等式（8）可用于解决数论等一些相关的问题.此外，关于函数 f（k，n）的符号判定问题，也可通过数学归纳法、均值不等式等其他数学工具加以解决.

［1］常庚哲，史济怀.数学分析教程[M].北京：高等教育出版社，2003.

［2］Helmut Hasse.Number Theory[M].北京：世界图书出版公司，2010.

［3］郑毓信.数学方法论[M].南宁：广西教育出版社，2003.

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