基于资源作为决策变量的多项目资源共享管理方法

徐 琳

(中国空空导弹研究院，河南 洛阳 471009)

在多项目环境下，随着项目数量的增加，规模的扩大以及地域范围的扩展，必然会引起多项目并行实施过程中对有限资源的竞争。因此，合理有效地配置项目资源以保证各并行项目的工期要求是多项目管理研究的重点。然而，在多项目背景下各项目之间存在资源竞争、工期冲突等多种限制及联系，彼此并不孤立存在，而且这些相互联系加大了多项目资源共享的难度，尤其是并行项目间的资源冲突;同时，各项目由于资源的共享彼此相依，一个项目的延迟往往会引起整个项目系统的延期。因此，有效解决多项目资源共享，对确保各项目按时、按质完成以及提升组织的经济效益具有重要意义。为此，本文针对各项目资源受限、工期固定条件下的多项目管理问题，在综合考虑项目活动间资源约束及逻辑关系，假定活动所分配资源数量与活动持续时间成反比关系的条件下，以资源为决策变量，从活动分配的资源数量入手，建立了以资源为决策变量的多项目资源优化配置方法，以优化多项目整体工期。

1 资源作为决策变量在多项目管理中的理论依据

1.1 多项目管理中资源冲突的产生

在企业管理中，绝大部分的项目需要在多项目环境下执行，项目与项目之间存在工期冲突、资源竞争等多种联系，而且这些联系并不孤立存在，这使得项目管理变得非常复杂。传统的项目管理方法在单项目管理中能很好地发挥作用，但在资源有限的情况下，由于这些方法忽视了资源约束的存在，已经不能有效地对并行多项目进行管理。

传统的关键路线法(CPM)及计划评审技术(PERT)等项目管理工具把重点放在了活动间前后关系的分析上，并没有足够重视资源约束，对资源的规划功能较弱，导致计划与实际执行进度之间存在较大偏差。图1 为关键路线法下单项目资源冲突示意图。

图1 单项目资源冲突示意图

图中假设活动1 的持续时间为8个工作日，活动2的持续时间为10个工作日，活动3的持续时间为15个工作日，活动4 的持续时间为10 个工作日，活动5 的持续时间为6 个工作日。在活动1 ～5 这个系统中，活动1、3、5是关键路径;然而，活动2 需要使用与活动l 相同的资源A，而该资源只能同时执行1项活动。因此，由于资源冲突的存在，活动2和活动1不能同时展开。在考虑资源限制的情况下，活动1、2、4应该作为关键活动。由此可见，在资源的规划上，计划评审技术及关键路线法等项目管理工具由于忽视资源约束，极易造成资源冲突在活动间产生，故效果不佳。

资源的共享和活动间的逻辑关系会使各活动联系紧密，1个活动的延迟会传递到下1个活动上，这会造成逾期累积而不仅仅是平均分摊。1个项目在多项目系统中的延迟也会传递给下1个项目，进而推迟整个系统的运行时间。图2为多项目资源冲突示意图。

图2 多项目资源冲突示意图

图2中，项目2的活动3、项目1的活动1 及活动3共享资源A。如果项目1 中活动3延期完工的话，项目2中活动3的延期开工便不可避免;即使项目1中活动3没有延期，当项目2中活动1未能及时完工时，也会导致资源A的闲置。显然，在多项目系统中，人力、时间、资金等资源在项目间和项目内部需要共享，这样一来项目之间便会为了人力、时间、资金等资源而进行竞争，这将使得资源冲突加剧，资源在多项目间的配置难度将大大增加。

1.2 资源作为决策变量的理论依据

项目资源分配与项目进度在多项目环境下关系密切。一方面，项目进度深受项目资源分配方法的影响，缩短项目进度可以通过资源在项目间的有效分配来实现，这对于产品周期的缩短具有积极意义，进而能使产品更早投入并占领市场，实现更多的利润;另一方面，资源分配和项目进度安排又不可分割，联系紧密。项目进度安排中的一个重要部分便是资源分配，稀缺资源的使用情况和时间节奏是项目进度安排所必须考虑的问题。在一定程度上，项目进度安排决定着项目的资源分配问题，确定每个时间段上每个活动分配的资源，有效地把组织资源分配到每一个项目的各活动中，通过资源的合理配置，可优化多项目整体工期。多项目资源共享问题在当前资源受限、活动持续时间一定、分配给各活动资源数量一定且已知活动间逻辑关系的情况下，为一个建立模型并对其进行求解以优化多项目工期的过程。

一般情况下，项目进度的展开包含以下步骤:对工作结构进行分解、对活动先后次序进行排序、对活动时间进行预测以及对网络进度进行规划。估计活动持续时间时，必须足够重视可使用的资源数量，也即是说，在估计某项活动的持续时间时，项目管理人员必须对未来的资源可用数量有所考虑。预测活动持续时间是制定项目计划基础工作中的关键环节，其准确性的高低对各节点网络、各活动时间的确定和整个项目所需总时间的花费均有重大影响。在估计活动持续时间时，必须充分考虑人、财、物等各种因素，做到统筹兼顾，避免顾此失彼。如果活动持续时间估计太长，会延长整个项目的完工期;相反，如果活动持续时间估计太短，则会造成工作被动、紧张的局面。活动持续时间在实际工作中往往会受到活动实际工作量以及分配到该活动的资源数量的影响。

在已有研究的基础上，假定活动工作量在每个活动中与活动持续时间成正比关系，资源数量在每个活动中与活动持续时间成反比关系，并将工作量、资源变量、活动持续时间的含义作如下规定。

1)工作量Ua为活动量的变量，表示活动a 的工作量。

2)资源数量Ra为资源分配数量的变量，表示活动a 的资源分配数量。本文以每项活动分配的资源数量为变量，假定每项活动只用到1 种资源，通过对分配给每项活动的资源数量进行优化，来对多项目总体工期进行优化。

3)活动持续时间Da为活动开始到活动结束所经过的时间跨度，表示活动a 的活动持续时间。在资源变量及活动工作量已知的情况下，可以计算活动持续时间。工作量Ua、资源数量Ra、活动持续时间Da三者有如下关系

在按项目进行管理的组织中，各种资源可在项目间进行自由流转。由于活动分配的资源数量与活动持续时间成反比，故在已知活动工作量和活动间逻辑关系的前提下，本文以每项活动分配的资源数量为决策变量，通过对其进行优化，可实现多项目资源的优化配置。

2 资源作为决策变量的多项目资源共享管理方法

多项目资源共享是否合理将严重影响各项目的完工期，而其在资源受限条件下又非常复杂。假设各项目工期固定、资源受限，以此实现多项目加权超期之和最小的问题可以描述如下:组织内部同时进行着m 个项目，这些项目将共享L种资源;项目优先级为已知，共享的每种资源都有有限的供给量;每个活动只用共享资源中的1 种，且同一项目中不同活动使用的共享资源不同;每个活动只能在其前面的所有活动完成之后才能开始。

2.1 资源作为决策变量的多项目资源分配模型

为了使复杂问题得到合理简化，鉴于模型主要用于求解多项目间资源在受限情况下的分配问题，本着尽可能符合实际背景的原则，本文做出如下假设:

1)各项目的优先级已经确定;

2)在各项目执行期间，各种共享约束资源总供给量保持不变;

3)项目内部活动间的逻辑关系为“开始—结束”关系，即任一活动只有在其所有紧前活动都结束后才能开始;

4)各项目中所有活动所涉及的工作一旦开始，那么在执行完成之前不能被其他活动中断;

5)活动持续时间与所分配的资源数量(在一定资源区间内)成反比关系，与活动工作量成正比关系;

6)每个活动最多受到1 种资源约束。

根据以上假设，对项目优先级进行综合考虑，得到了用于求解多项目间资源在受限情况下分配问题的模型。此模型将各活动分配的资源数量作为一个决策变量，通过对共享资源数量进行优化，达到了多项目整体工期优化的目的。

1)目标函数，用于求解m 个项目超期之和的最小值

2)第t 天实际使用第f 种资源的数量St

3)第t 天项目k 使用第l 种资源的数量

4)项目k 活动i-j 的开始时间限制

5)项目k 活动i-j 的结束时间限制

6)资源限制

7)项目k 的实际工期求解函数

8)项目k 的紧前关系约束

9)项目k 各活动的持续时间

10)项目k 活动i-j 实际可分配资源数量的约束

式中:F(m)为目标函数，表示企业m 个项目加权超期之和;m 为项目代码;Tk为项目k 的实际完工工期;T*k 为项目k 的合同工期;l 为资源代码;Sl为第l 种资源的可用数量;Xkij为0，i 变量，当项目k 代码i、j 相联系时取1，否则取0;Ykij为项目k 活动i-j 分配第l 种资源的上限;Zkij为项目k 活动i -j分配第l 种资源的下限;TS(ki，kj)为项目k 活动i -j 的实际开始时间;TF(ki，kj)为项目k 活动i - j 的实际结束时间;R(lt)为第l 种资源在第t 天的实际使用量;Rk(lt)为项目k在第t 天使用第l 种资源的数量;Rkij(l)为项目k 活动i-j 分配第l 种资源的数量;Wki为项目k 活动i 的开始时间;Ukij为项目k 活动i-j 的工作量;Dkij为项目k 活动i -j 的持续时间;Pk为项目k 的优先级。

2.2 基于遗传算法的模型求解

遗传算法是一种基于选择机制和生物进化的随机搜索算法，其对求解问题的限制以及本身的并行性较少，具有收敛快、通用性强以及计算简单等优点。同时，由于他能在整个解空间进行搜索，有利于找到最优解，故在解决多项目资源优化问题中得到了广泛应用。图3 为基于遗传算法的多项目管理问题求解流程。

图3 基于遗传算法的多项目管理问题求解流程

利用遗传算法对模型进行求解包含如下步骤。

1)产生潜在初始解群体的方法。随机选取作为一组初始解的n 个解，称作一个种群(population)。在以资源为决策变量的多项目资源共享管理中，每个初始解均表示在分配不同资源组合的情况下，多项目所有活动的总体工期。一系列初始解构成的解集称为原始群体。初始解具有随机性，如果时间允许，其可能产生于整个解空间之中，能更好地体现优化问题所描述的生态环境。母体数N 是每一代的个体总数，为固定值，即初始解的个数。因为总计算时间会受到每一代运算量的影响，结果会受到初始解分布情况的影响，所以N对计算时间和计算结果都有影响。N 越大，所需的时间越多。根据经验数据，合适的N 值应该在50 左右。

在首次迭代时，初始解群体会在解空间中随机产生，此时应设置进化代数f 为1;否则，应当操作遗传算子产生一些新个体，并从记忆库中提取Nm个最优个体来组成新一代群体，并将进化代数t 增加1。

2)染色体编码方式的确定。使用遗传算法进行求解前，需要对目标问题进行编码和译码。由遗传算法编码空间向问题空间的映射称作译码(decoding);相应地，由问题空间向遗传算法编码空间的映射称作编码(encoding)。编码很大程度依赖于问题的性质，是遗传算法的关键步骤，其好坏对遗传操作的设计效果有直接影响。在进行编码时，必须对“染色体”的可行性、合法性、约束性及有效性进行考虑。

3)染色体的Lamarkian 特性。染色体的Lamarkian 特性是指染色体的优点(merit)是否可以通过遗传操作传到后代种群的一种特性。如果通过遗传操作后代可以有效继承父代的优点，编码便具有Lamarkian 特性;反之，编码便不具有Lamarkian 特性。

4)解码的复杂性。不同的编码方案所带来的解码复杂程度不同，由于个体经过遗传操作后，必须通过解码才能确定其适应值，因此解码的复杂性也是需考虑的一个因素。

5)编码的空间特性。这里希望得到仅含可行解的搜索空间，因此编码时需要考虑码所表征空间的冗余性、完全性和可行性。

6)存储的需求。编码可以分为二进制编码和非二进制编码两大类，编码方法的选取与实际问题密切相关。二进制编码将问题空间的参数表示为字符集{0，1}构成的位串，具有域的独立性，对处理的所有问题非常简洁、一致。然而，其对于许多问题的处理又不自然，此时便要用到非二进制编码。

本文考虑问题的具体要求，采用非二进制编码。结合上述分析，选取活动分配的资源数量作为染色体基因值，按照活动编号顺序将所有活动排列成1 行，组成1 个染色体串。图4 为染色体结构。图1 中，Rkij(l)表示第k 个项目活动i→j 分配第l 种资源的数量

图4 染色体结构

与传统二进制编码相比，这种染色体编码方式具有如下优点:①串行进度安排方案的特点在图4 所示的表示方法中得到了巧妙利用，使得解码和编码过程算法基本保持一致，让工作变得比较简单;②定做的遗传算子的存在能满足编码方案的要求，又避免了后代染色体在二进制编码方案中出现。

3 资源作为决策变量的多项目资源共享方法应用

以某航空研究所为例，在研究所内部由于多项目资源共享牵涉到众多部门，通过对具有相似功能的资源进行归类，调整后的研究所成为了一个资源平台。同时，研究所通过对相似项目进行整合，形成了项目成组管理模式，非常有利于资源效用最大限度地发挥。此外，资源在研究室内部也由若干项目组成一个小组，若干组项目便对应着研究室的多个小组。以某成组项目为例来介绍多项目资源共享以资源为决策变量的方法实施程序。在与关键链多项目管理方法(CCMPM)进行比较的基础上，验证了以资源为决策变量的多项目资源共享方法的有效性。

3.1 背景分析

假设研究所现在面临甲、乙、丙3 个项目。项目按重要程度和紧急程度依次为项目甲、项目乙、项目丙，工期分别为50、60、70 d，每个项目均包含光学设计、结构设计、系统设计、视频电子集成、制造、控制系统设计、装配调控检测以及空间环境模拟等8 项任务。图5 为项目双代号网络图。

图5 项目双代号网络图

由于研究所资源有限，若项目甲、项目乙和项目丙同时进行，则资源冲突将不可避免。因此，明确每项任务的基础之后，辨别出瓶颈资源是首要任务。即必须弄清制约多项目各活动的资源因素，进而确定每个时间段内每项活动的资源分配数量。

1)对每项活动需要使用的资源数量进行明确。巧妇难为无米之炊，资源的支撑完成活动的基础，活动的持续时间取决于资源搭配的合理程度及分配的数量。

2)通过分析活动需要使用的资源，对关键资源予以确定。在对每项活动需要使用的资源数量进行明确的基础上，需要对每项活动的关键资源进行确定，同时对各项活动所需的资源进行分析。

3)对活动工作量进行明确。由于资源分配数量与活动持续时间成反比关系，活动工作量与活动持续时间成正比关系，故必须根据模型需要对各活动的工作量进行确定。对活动工作量进行确定可采用专家判断法，通过与以往相似项目历史信息进行类比实现。表1 所示为活动信息。

表1 活动信息

3.2 资源作为决策变量的多项目管理方法应用研究

运用前述多项目资源共享以资源为决策变量的方法，根据表1 给定的约束条件和相关数据，可通过求解得到分配给各活动的具体资源数量，详细信息见表2。

在此基础上，假定项目每天均是工作日，并且甲的第1个活动从一已知时间开始，就能得到每个活动分配的资源以及开始、持续和结束时间。

3.3 关键链多项目管理方法应用研究

依照前文给定的约束条件，可运用关键链多项目管理方法(CCMPM)，采用最快完成时间，求解得到每个项目活动的开始时间、结束时间以及资源在各活动间的分配情况，见表3。

表2 多项目各活动分配资源数量

表3 各项目活动分配资源数量

为了能与本文所述方法一致，同样假定项目每天均是工作日，并且甲的第1 个活动从一已知时间开始，就能够得到每个活动分配的资源及开始、持续和结束时间。

3.4 数据对比及原因分析

提取2 种方法求解得出的计算工期，通过将合同工期与以上2 种方法求解得出的计算工期进行比对，不难发现2 种方法孰优孰劣。本文方法与关键链多项目管理方法具体的比对结果见表4。

表4 本文方法与CCMPM 的结果对比分析

分析表4 可知:在本文所述方法下，3 个项目在合同期内均能完成。然而，关键链在多项目管理方法下，第3 个项目将会延期4.6 个工作日，虽然能够在规定的合同期内完成前2 个项目，但3 个项目的整体效果不如本文的方法。比对显示本文方法具有一定的优势。通过与关键链多项目管理方法(CCMPM)进行实践比较，本文方法的适应性和先进性得到有效验证。

下面对本文所述方法与关键链多项目管理方的优劣进行比对分析。在关键链多项目管理方法下，企业只对活动的先后顺序和资源约束等情况进行了考虑。以资源为决策变量，通过对每个活动分配的资源数量进行优化，使得实现资源共享在多项目间得到了有效实施，扩大了对多项目进行优化的范围。通过对求解区域进行比对可知，本文方法通过假设活动分配的资源数量与活动持续时间成反比关系，每个活动的工作量确定，扩大了资源共享管理的求解区域，因此有利于找到更满意的解。

4 结束语

当前对多项目资源共享的研究主要集中于多项目工期的优化，而且这一研究基于各项目持续时间和各项目所分配数量这一既定假设。本文在活动分配资源与活动时间成反比的假设下进行研究，将资源作为研究变量，通过对资源配置进行优化来更好地实施多个项目，在此基础上，建立了资源作为决策变量的多项目资源共享管理方法，给出了数学模型及算法。通过与关键链多项目管理方法(CCMPM)实际应用结果的比对，进一步验证了本文资源配置方法的可行性和有效性。

［1］寿涌毅.资源约束下多项目调度的迭代算法［J］.浙江大学学报，2004，38(8):1095-1099.

［2］杨雪松，胡吴.基于关键链方法的多项目管理田［J］.工业工程与管理，2005(2):48-52.

［3］寿涌毅.关键链项目管理方法综述叨［J］.项目管理技术，2006(9):28-32.

［4］中国项目管理研究委员会. 中国项目管理知识体系［M］.北京:电子工业出版社，2006.

［5］Kerzner H. Project Management:A Systems Approach to Planning，Scheduling，and Controlling［M］. New York:Van Nostrand Reinhold，1979.

［6］Demeulemeester E，Dodin B，Herroelen W.A random activity network generator［J］. Operations Research，1993，41(5):972-980.

［7］Anabela P Tereso，Salah E Elmaghrabyb.Adaptive resource allocation in multimodal activity networks［J］.International Journal of Production Economics，2004，92(1):1-10.

［8］郭研，宁宣熙.利用遗传算法求解多项目资源平衡问题［J］.系统工程理论与实践，2005(10):78-82.