模糊关系中算子σ、α、ε之间的关系

吴 莉

(1. 阿坝师范高等专科学校 数学系, 四川 汶川, 623002; 2. 四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都, 610066)

模糊关系中算子σ、α、ε之间的关系

吴 莉

(1. 阿坝师范高等专科学校 数学系, 四川 汶川, 623002; 2. 四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都, 610066)

讨论了模糊集中算子σ、α、ε之间的关系, 研究了它们之间的结合律与分配律, 证明了ε算子对σ算子分配律成立. 给出了σ算子、α算子以及ε算子结合律成立的条件, 给出了σ算子对α算子、α算子对σ算子、σ算子对ε算子、ε算子对σ算子、ε算子对α算子以及α算子对ε算子分配律成立的条件.

σ算子; α算子; ε算子; 分配律; 结合律

1 引言与预备知识

设X是非空集合, 称映射A： X→[0, 1]为论域X上的模糊集. 模糊集中的算子σ、α、ε是解模糊关系方程的非常重要的工具, 其中α算子最早被用来研究格中问题. 在文献[1]中Birkhoff G得到很多关于格的理论, 后来E. Sanchez用它研究模糊关系方程Q⊙S=T的最大解以及模糊关系的分解问题[2]. ε算子是α算子的对偶算子, 主要用于解对偶的模糊关系方程. 而算子σ在求方程A⊙R=B的最小解以及在模糊关系的分解中也起到非常重要的作用[3]. 本文详细地讨论了它们的结合律及分配律.

2 主要结果

以下讨论全在[0, 1]区间进行, 先讨论结合律.

定理1 (1)当a、b、c满足下例条件之一时, 有(aσb) σc=aσ( bσc)：

(i) a≥b≥c, (ii) a≤b≤c, (iii) a≥c≥b, (iv) a＜c≤b, (v) b≤a≤c;

当b＞a≥c时, 有(aσb) σc＜aσ( bσc).

(2)当a、b、c满足下例条件之一时, 有(aαb) αc=aα( bαc)：

(i) a≥b＞c,(ii) a＞b≥c,(iii) a≥c＞b, (iv) a＞c≥b,(v) b≥a＞c, (vi) c≥a＞b;

当a、b、c满足下例条件之一时, 有(aαb) αc＜aα( bαc)：

(i) b＞a=c, (ii) c≥b≥a, (iii) b≥c≥a.

(3)当a、b、c满足下例条件之一时, 有(aεb) εc=aε( bεc)：

(i) b＞a≥c, (ii) a≤c≤b(a、b、c不同时相等), (iii) a≤b≤c(a、b、c不同时相等), (iv) b≤a＜c;

当a、b、c满足下例条件之一时, 有(aεb) εc＞aε( bεc)：

(i) a≥b≥c,(ii) a≥c≥b.

当a≥b≥c时, (aσb) σc=bσc=c , aσ( bσc)=aσc=c , 故(aσb) σc=aσ( bσc), 故等式成立, 其余证明同理;

当b＞a≥c时, (aσb) σc=0σc=0, aσ( bσc)=aσc=c, 故不等式成立, 其余证明同理.

以下讨论分配律.

定理2 (1) 当a、b、c满足下例条件之一时, 有aσ( bαc)=(aσb) α( aσc)：

(i) a≥b＞c,(ii) b≤a＜c;

当a、b、c满足下例条件之一时, 有aσ( bαc)＜(aσb) α( aσc)：

(i) a＜b≤c, (ii) a≥c≥b, (iii) a≤c≤b, (iv) b＞a≥c.

(2) 当a、b、c满足下例条件之一时, 有(aαb) σc=(aσc) α( bσc)：

(i) a≥c＞b,(ii) b＜a=c;

当a、b、c满足下例条件之一时, 有(aαb) σc＜(aσc) α( bσc)：

(i) a≥b≥c, (ii) a≤b≤c, (iii) a≤c≤b,(iv) b≥a≥c,(v) b≤a＜c.

在威远镇卓扎滩村建立马铃薯“下寨65”“青薯2号”“青薯9号”原原种标准化繁育技术示范田2.08 hm2，平均产量2.54×104kghm-2，总产量达5.28×104kg；实现收入3.81万元/hm2，按1.5元/kg计算，总产值7.92万元。

(3) 当a、b、c满足下例条件之一时, aα( bσc)=(aαb) σ( aαc)：

(i) a≤c≤b,(ii) a≥c≥b,(iii) a≥b≥c,(iv) b≥a≥c,(v) b＜a≤c;

当a≤b＜c时, 有aα( bσc)＜(aαb) σ( aαc).

(4) 当a、b、c满足下例条件之一时, 有(aσb) αc=(aαc) σ( bαc)：

(i) a≥b＞c, (ii) a≤b≤c,(iii) b≤a≤c, (iv) a＜c=b;

当a、b、c满足下例条件之一时, 有(aσb) αc＞(aαc) σ( bαc)：

(i) a＞b=c, (ii) a＞c≥b,(iii) a≤c＜b, (iv) b＞a≥c.

(5) 当a、b、c满足下例条件之一时, 有aσ( bεc)=(aσb) ε( aσc)：

(i) a≥b≥c, (ii) a≤b≤c, (iii) a≥c≥b, (iv) a＜c≤b, (v) b≤a≤c;

当a、b、c满足b＞a≥c时, 有aσ( bεc)＜(aσb) ε( aσc).

(6) 当a、b、c满足下例条件之一时, 有(aεb) σc=(aσc) ε( bσc)：

证明 只证明(1)的情况, 其余证明同理.

(i) a≥b≥c,(ii) a≤b≤c,(iii) a≥c≥b, (iv) a＜c≤b, (v) b≤a≤c;

当b＞a≥c时, 有(aεb) σc＞(aσc) ε( bσc).

(7) 当a、b、c满足下例条件之一时, 有aα( bεc)=(aαb) ε( aαc)：

(i) a≤c≤b,(ii) a≥c≥b, (iii) a≥b≥c, (iv) b≥a≥c, (v) b＜a≤c;

当a≤b＜c时, 有aα( bεc)＞(aαb) ε( aαc).

(8) 当a＞c≥b时, 有(aεb) αc=(aαc) ε( bαc);

当a、b、c满足下例条件之一时, 有(aεb) αc＞(aαc) ε( bαc)：

(i) a≥b＞c, (ii) a≤b≤c, (iii) a≤c≤b, (iv) b≤a≤c, (v) b≥a≥c.

(9) 当a、b、c满足下例条件之一时, 有aε( bαc)=(aεb) α( aεc)：

(i) a≥c≥b, (ii) a≤b≤c, (iii) a≤c≤b,(iv) b≤a≤c, (v) b＞a≥c;

当a≥b＞c时, 有aε( bαc)＜(aεb) α( aεc).

(10) 当a＜b=c时, 有(aαb) εc=(aεc) α( bεc);

当a、b、c满足下例条件之一时, 有(aαb) εc＜(aεc) α( bεc)：

(i) a≤b＜c, (ii) a≥b≥c, (iii) a≥c≥b, (iv) b≥a≥c, (v) b≤a≤c.

(11) aε( bσc)=(aεb) σ( aεc)恒成立.

(12) 当a、b、c满足下例条件之一时, 有(aσb) εc=(aεc) σ( bεc)：

(i) a≥b≥c, (ii) a≤b＜c, (iii) b≤a＜c;

当a、b、c满足下例条件之一时, 有(aσb) εc＞(aεc) σ( bεc)：

(i) a＜b=c, (ii) a≤c＜b, (iii) a＜c≤b, (iv) b＞a≥c, (v) b＜a=c, (vi) a≥c＞b.

证明 只证明(1)的情况, 其余同理可证.

当a≥b＞c时, aσ( bαc)=aσc=c, (aσb) α( aσc)=bαc=c, 故等式成立, 其余证明同理.

当a＜b≤c时, aσ( bαc)=aσ1=0, (aσb) α( aσc)=0α 0=1, 故不等式成立, 其余证明同理.

致谢： 衷心感谢四川师范大学数学软件学院王学平教授的细心指导与热情帮助！

[1] Birkhoff G. Lattice theory[M]. 3th Ed. AMS Colloquium Publications, 1979： 45-49.

[2] Di A, Nola W, Pedrycz E. Fuzzy Relation equqtions and their applicatlons to knowledge engineering[M]. Netherlands： Kluwer academic publishers, 1989： 7-9, 21-24.

[3] Di A Nola, Lettieri A. Relation equations in residuated lattices[J]. Final versionin Rend Circ Mat Palermo, 1988, 34： 95-106.

[4] Sanchez E. Resolution of composite fuzzy relation equations[J]. Inform and Control, 1976, 30： 38-48.

[5] Ernvall R. Generalized Bernoulli numbers, generalized irregular prime, and class number[J]. Ann Univ Turku Ser A I, 1979, 178： 1-72.

[6] 王学平. 双蕴含算子的性质[J]. 四川师范大学学报： 自然科学版, 1989, 12： 126-130.

(责任编校： 刘晓霞)

The relationships among operators σ, α, ε in fuzzy sets

WU Li
(1. Department of Mathematics, ABa Teachers College, Wenchuan 623000, China; 2. College of Mathematics and Software Science, Sichuan Normal University, Chengdu 610066, China)

The relationships among operators σ, α and ε were discussed, the associative and distribution laws laws of operators σ, α and ε were investigated. The conditions was put forward under the associate laws of operators σ, α and ε holds, respectively. And then put forward the conditions under the distributive laws are true among operators σ, α and ε.

Operater σ; Operater α; Operater ε; Distribution law; Associative law

O 159

1672-6146(2012)02-0001-03

10.3969/j.issn.1672-6146.2012.02.001

2012-05-03

四川省教育厅自然科学基金项目(12ZB002); 阿坝师专校级科研基金项目.

吴莉(1982-), 女, 讲师, 主要从事代数及数论研究. E-mail： Lilihurry@yahoo.com.cn