从Bergman空间到Dirichlet空间的广义Cesàro算子*

孟 一 梅

(杭州电子科技大学 理学院, 浙江 杭州 310018)

本文中，所有出现的p，q，α，β均满足0-1。C表示与H(B)上函数无关的正常数，且不同的位置可以代表不同的数。文中“A≌B”表示存在正常数C使得C-1A≤B≤CA。

1 Tg的有界性和紧性

引理 2.1 设p≤q，g∈H(B)， 则

定理 2.1 设q

证明：(B)⟹(A) 是显然的；

(A)⟹(C)的证明：

首先，当f，g∈H(B)时，可直接计算得出：

R(Tgf)(z)=f(z)Rg(z)。

其中dμ(z)=|Rg(z)|q(1-|z|2)βdV(z)。

由文献[4]中定理4可得：

(1)

因此，对任意ɛ>0，存在δ>0使得：

(2)

2 Tg的本性模

定理 3.1 设g∈H(B)，则当p≤q时，

(3)

(4)

证明：

则当Q∈K时，由Tgfζj(0)=0可得：

由本性模的定义和上面的估计式，有

(5)

(6)

(7)

(8)

其中ck是给定的与n和k有关的常数。设0

(9)

(10)

由引理2.1可知Tgρ是紧的。从而由(8)、(9)和(10)式可得：

故由文献[7](P15)中定理1.12得：

(11)

由(5) 、(6)和 (11)式即可得出估计式(3)。

(12)

(13)

由(12) 和 (13)可得估计式(5)。证毕。

3 结 语

本文在文献[1-6]的基础上进一步探讨了复合算子Tg的有界性和紧性，完善了文献[6]的结论，并给出了Tg本性模的估计式，在多复变函数空间算子研究领域具有一定的理论价值和应用前景。

参考文献：

[1] Z. J. Hu. Extended Cesàro operators on the Bloch space in the unit ball of Cn[J]. Acta. Math. Sci., 2003, 23B(4): 561-566.

[2] T. Hosokawa. The essential norm of a weighted composition operator from the Bloch space to H∞[J]. Bull. Aust. Math. Soc., 2009, 79(3): 487-497.

[4] Z. J. Hu. Extended Cesàro operators on Bergman spaces[J]. J. Math.Anal.Appl.,2004,296:435-454.

[5] 张学军.Cn中Dirichlet型空间和Bloch型空间上的加权Cesàro算子[J].数学年刊,2005,26A(1):139-150.

[6] 易奎英，刘竟成,Bergman空间到Dirichlet空间的Cesàro算子,湖南工业大学学报[J].2008(3):24-26.

[7] K. H.Zhu. Space of Holomorphic Functions in the Unit Ball[M].New York,Grad. Texts in Math.Springer-Verlag, 2005:226.