p-Laplacian方程组大解的存在性*

印凡成，王滕滕，黄健元

(1.河海大学理学院，江苏 南京210098；2.河海大学公共管理学院，江苏 南京210098)

对椭圆型p-Laplacian方程解的研究一直是学者们感兴趣的问题，已经得到了大量深刻的结果。有关p-Laplacian方程在全空间RN上解的存在性研究，常用的方法有不动点法，变分法，上下解法，运用山路引理等。各类方法各有其特殊性和优势，同时也有其局限性。关于椭圆型p-Laplacian方程的大解，国内外许多学者已经运用不同的方法进行了研究。文献[1]运用上下解方法得到方程

的整体解。文献[2]也运用上下解方法研究非线性椭圆型方程

在光滑有界区域Ω⊆RN和整个Ω=RN空间正的边界爆破弱解的存在性。关于有界区域上单个方程形如

其中p>1，Ω⊂RN的问题，很多学者都有研究，并有所收获。尤其在文献[3]中，作者分别证明了方程在γ>p-1，Ω=RN或Ω是RN上的有界区域，以及在γ

其中m>1,λ:[0,∞)→[0,∞)是连续函数，φ:RN×[0,∞)→[0,∞)也是连续函数。同样方程组以及p(x)-Laplacian方程组问题也有很多学者进行了研究。在文献[5]中，作者考虑了下面不含梯度项的方程组

的正的整体解的存在性。文献[6]中，作者研究了下列非线性椭圆型方程组

在有界区域边界大解的存在性问题。

在上述文献中，虽然研究到非线性方程组解的问题，但涉及方程组大解问题的研究非常少。本文将依据比较原理，借鉴文献[7]中单个方程在无界区域上大解存在性问题的上下解方法，通过联立解不等式组的方式，结合具体情况，考虑上下解存在时需要满足的条件，研究如下无界区域上强耦合项的非线性椭圆型p-Laplacian方程组

大解的存在性问题。其中10，m(x),n(x)是RN上的非负函数，在RN上Hölder连续。

1 预备知识和引理

(2)

(3)

定义2 方程(1)的解u(x)如果满足当x→∂Ω时，有u→∞，则称u(x)为方程(1)的大解，也称爆破解。如果Ω=RN，x→∂Ω也就是|x|→∞，这样的解u(x)称为整体大解，也称整体爆破解。

引理1[8](弱比较原理) 设Ω是RN(N≥2)上的有界区域，边界∂Ω光滑，并且θ是(0,∞)→(0,∞)的连续不减函数，设u1,u2∈W1,p(Ω)，且对任意的非负函数ψ∈W1,p(Ω)满足

▽u1▽ψθ(u1)ψdx≤

如果在边界∂Ω有不等式u1≤u2成立，则在有界区域Ω上不等式u1≤u2也成立。

引理2[9](单个方程的上下解原理) 非线性椭圆型方程

(4)

其中指数λ∈(0,1)且f(x,u)关于u在{(x,u):x∈RN,w(x)≤x≤v(x)}是Hölder连续，则方程(4)有整体解u(x)满足w(x)≤u(x)≤v(x)，x∈RN。

证明设BR是RN上半径为R的球，考虑边值问题

sup{|uR|;x∈B2}≤C3

(10)

注1 函数v(x)(或w(x))满足偏微分不等式(5)(或(6))被称为方程(4)在RN上的上解(或下解)。

引理3[5](方程组的上下解原理) 非线性椭圆型方程组

(11)

≤u(x)≤，≤v(x)≤

证明 利用和引理2相同的证明方法，即可证得引理3。具体步骤可参见文献[5]。

2 主要定理

本文主要研究强耦合项的非线性椭圆型方程组(1)大解的存在性问题。其中10，m(x),n(x)是RN上的非负函数，在RN上Hölder连续。这里所说的大解，也就是一个函数对(u,v)∈C1,θ(RN)×C1,θ(RN)，在RN上的每一点x都满足(1)，其中指数θ∈(0,1)。方程组(1)大解存在需要满足的条件是(a-p+1)(e-q+1)

任意m(x),n(x)连续，且∃R0>0,m1,m2>0,n1,n2>0和α,β∈R1，使得

(12)

(13)

取

,·,

容易验证

(14)

取

λVk，μUn

(15)

这里λ,μ>0为参数，n,k>0。

,

(16)

≤u(x)≤，≤v(x)≤

下面证明由(15)-(16)所定义的函数是问题(1)的上下解。取

，，

先考虑下解的情况，当|x|≤R0时

则

≥k

则

≤

即

(17)

则有

≤

即

≤μq-1-e

(18)

联立(17)和(18)解不等式组

解以上不等式组可得

当|x|≥R0时，

≤

即

≤λp-1-a

(19)

≤

即

≤μq-1-e

(20)

联立(19)和(20)解不等式组

解以上不等式组可得

类似地，对于方程组的上解可得到同样的结论。

3 结 语

文章探讨了无界区域上强耦合项的非线性椭圆型p-Laplacian方程组大解的存在性，并得到大解存在需要满足的条件(a-p+1)(e-q+1)

参考文献：

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