积分因子法的一个应用

摘要：本文给出利用积分因子法求解一阶线性微分方程及贝努利方程的一种简便方法，在探究职业院校数学教学方法方面作了一次有益的尝试。

关键词：积分因子；一阶线性微分方程；贝努利方程

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）01-0193-01

如果用常数变易法求解一阶线性微分方程，过程比较繁琐；如果用公式法求解一阶线性微分方程又需要记忆该公式。对于可化为一阶线性微分方程的贝努利方程，需要作一个变换之后化为一阶线性微分方程，其求解过程更加繁琐。我们在这里介绍一种利用积分因子求解一阶线性微分方程的简便方法。

一、基本理论

如果微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0不是全微分方程，而存在连续可微函数?滋（x，y）≠0使?滋P（x，y）dx+?滋Q（x，y）dy=0为全微分方程，则称函数?滋（x，y）为此微分方程的一个积分因子。并且有如下结果：

定理[1][2]微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0有一个仅依赖于x的积分因子的充要条件是■是一个仅与x有关的函数?鬃（x），此时微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0有一个积分因子为?滋（x）=e■。

微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0有一个仅依赖于y的积分因子的充要条件是■是一个仅与y有关的函数φ（y），此时微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0有一个积分因子为?滋（y）=e■。

二、一阶线性微分方程y'+p（x）y=q（x）的解法

先将方程y'+p（x）y=q（x）变形成[p（x）y-q（x）]dx+dy=0，于是P（x，y）=p（x）y-q（x），Q（x，y）=1，?滋=■=p（x）是一个仅与x有关的函数，所以方程[p（x）y-q（x）]dx+dy=0有一个积分因子?滋（x）=e■。

在方程[p（x）y-q（x）]dx+dy=0的两边同乘以?滋（x）=e■得到

p（x）ye■dx+e■dy=q（x）e■dx

即d（e■y）=q（x）e■dx

所以有e■y=■q（x）e■dx

从而得到一阶线性微分方程y'+p（x）y=q（x）的通解为y=（■q（x）e■dx+c）e■。

三、贝努力方程y'+p（x）y=q（x）yn(n≠0,1)的解法

先将方程y'=p（x）y=q（x）yn变形为[y1-np（x）-q（x）]dx+y-ndy=0，则p（x，y）=y1-np（x）-q（x），Q（x）=y-n，■=■=（1-n）p（x）是一个仅与x有关的函数，所以方程[y1-np（x）-q（x）]dx+y-ndy=0有一个积分因子?滋（x）=e■。

在[y1-np（x）-q（x）]dx+y-ndy=0两边同乘以?滋（x）=e■得到e■y1-np（x）dx+y-ne■dy=q（x）e■dx，于是有d（y1-ne■）=q（x）e■dx，所以y1-ne■=■q（x）e■dx+c，于是得到贝努利方程y'=p（x）y=q（x）yn的通解为：

y=[（1-n）■e■q（x）dx+c]■e■。

参考文献：

[1]张晓梅，张振宇，迟东璇.常微分方程[M].上海：复旦大学出版社，2010：11-42.

[2]王素云，李千路.常微分方程[M].西安：西安电子科技大学出版社，2008：10-45.

基金项目：东莞职业技术学院院级项目“高职院校数学教学方法探究”资助

作者简介：冯天祥，重庆万州人，主要从事数学教育教学工作。