概率统计中的典型问题分析

郭祥标

概率有其广泛的社会生活背景,在现代社会生活的各个领域中有广泛应用,概率及其思想方法已经渗透到各个领域.近年来,概率及其思想方法已经作为中学数学中新增的内容,也是中学数学中的重要内容,是高考的热点之一,并且在今后的高考及数学竞赛中其体现的力度必将加大.笔者根据长期教学实践中的体会,就概率中的典型例题与概率中容易出现的问题作粗浅分析.

一、频率与概率的关系

频率是在n次试验中，事件A发生的次数m占总次数n的比率m[]n，它是一个随着试验的不同时、不同次而表现出来的往往是不同的频率值；概率是在大量的重复试验中，事件A发生的频率所表现出来的规律性，它是事物固有的、客观的、本质的东西.频率是概率的表现形式，概率是频率的本质反映，二者关系密切，但不能混同.

例1 一次试验中所有可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性相等,那么计算两次试验某结果出现的频率与概率的所有可能值.

解 ①若某结果出现0次,其频率=0[]n=0,其概率

②若某结果出现1次,其频率=1[]2,其概率

二、等可能与非等可能的区别

在概率问题中，最典型最基本的概率模型，就是古典概型，古典概型的特征有两点：①试验结果的有限性；②每一结果的等可能性.但往往在许多试验中把非等可能误认为等可能而导致错误.

例2 上下楼梯的问题：某人要上10级台阶，每步可上一级或两级，求此人7步上完的概率.

分析 10级台阶，若每步上一级，则要１０步，若每步上两级，则要５步，于是上完10级台阶可能需要５，６，７，８，９，１０步６种情况，则此人7步上完的概率是１[]６，这样就把上述６种可能情况看成了等可能性，从而导致错误.

解 若１０步上完只有一种方法，若９步上完必有１步要上两级，共有獵19种方法；若８步上完必有２步要上两级┯小…所以走完10级中出现k次两级分类k=1,2,…,6,注意6类的非等可能性,则此人7步上完的概率是

再如抛掷两骰子的点数和等也容易把和的各种可能结果的非等可能误认为等可能.

三、互斥事件与独立事件混淆

例3 对于事件Ａ，Ｂ，下列命题正确的是().

獳.如果Ａ，Ｂ互斥，则〢，〣也互斥

獴.如果Ａ，Ｂ不互斥，则〢，〣也不互斥

獵.如果Ａ，Ｂ互斥，且P(A)，P(B)均大于0，则Ａ，Ｂ相互独立

獶.如果Ａ，Ｂ相互独立，则〢，〣也相互独立

分析 若A，B互斥，则〢，〣不一定互斥，用文氏图表示很容易判断，①A∪B是基本事件全集Ω的真子集时命题假，A∪B=Ω时命题真，即：若A，B互斥，则〢，〣不一定互斥；②若A∪B是Ω的真子集时命题真，A∪B=Ω命题假；③若A，B互斥，且P(A)，P(B)均大于0，由P(A+B)=㏄(A)+狿(B)-P(AB)得P(AB)=0,而Ａ,Ｂ相互独立，则㏄(AB)=狿(A)P(B)＞0，二者矛盾；④只有当Ａ，Ｂ相互独立时，才能推出〢，〣也相互独立.故选獶.

由以上分析知，在一般情况下，互斥与相互独立是互不等价、完全不同的两个概念，对A，B互斥与独立和〢，〣的互斥与独立关系的理解是概率计算中对复杂事件运算的关键,非常重要，千万不能混同.

四、有放回取与不放回取的混同

例4 设N件产品中有m件次品,现从中抽取n(n≤N)次,每次取一件,若采用有放回取与不放回取两种方式抽取,求恰有k件次品的概率各是多少.

分析 若采用有放回取的方式，因为每次抽取后又放回，再抽取时题设条件没有改变，所以各次的抽取结果是相互独立的，且每次抽取为次品的概率都为m[]N，因此n次中恰有k件次品的概率属于n次独立重复试验.

所以P=P璶（k）=獵琸璶m[]N琸1-m[]N﹏-k.

若采用不放回取的方式，即每次取后不放回，这种取法等同于一次性随机抽取n件，且每件产品被抽到的可能性相等，则恰有k件次品的概率是

P=獵琸璵獵﹏-k㎞-m猍]獵琻璑.

从以上分析知，有放回取与不放回取是两种截然不同的抽取方式，它们的概率值不同，二者不能混同.

本文对概率中的几类典型问题进行了认真分析，给出了各类问题的分析和解题方法，也提醒大家在这几类典型问题中容易混淆的概念如何分析，最终寻求正确的途径解决这些问题.