儿童几何概念之形成儿童几何概念之形成

曹雅玲 曾怡嘉

【摘要】作者根据皮亚杰的空间概念理论与玍an Hiele几何思考理论来讨论儿童的几何概念发展.

【关键词】几何图形概念；皮亚杰的空间概念理论；￢an Hiele几何思考理论オ

几何在我们生活周遭中处处随手可得，如建筑物、艺术、地图与路标等.几何帮助人们用有条理的方式，表现和描述生活的世界.事实上，人们所创造出来的每一项事物，几乎都是由几何形态的元素所构成的.所以几何是提供我们如何去阐释与反映外在物理环境的一种方法，并且可作为学习其他数学和科学题材的工具，加强几何的空间思考，有助于高层次的数学创造思考.美国数学教师协会指出数学教育的主要目标是要发展儿童的数学推理及思考能力，使其能够应用所学的数学知识和技能来解决在实际的生活中所遭遇的问题情境.而其中几何教学的目的是要协助学生学习了解以及运用几何的性质和关系，并且发展学生的空间感.

小学学童在学习的过程中，可透过皮亚杰的学习理论模式的观点进一步来解说.皮亚杰从认知发展的角度来看待儿童的几何概念发展阶段，他认为儿童的几何概念系由简单的具体的形象表征，再进一步到抽象概念的认知.另外是荷兰数学教育家玍an Hiele夫妇，他们将几何思考的模式区分成五个发展的层次，每一个层次都有其发展的特征，玍an Hiele也积极主张学习者思考层次的提升是经由教导，而非经由个体年龄的成长而发展，因此几何概念的教学活动扮演着相当重要的角色.于是玍an Hiele在1986年提出了“五阶段的教学模式”，教师借由学生几何层次的分类，可以从中获得许多学生学习几何的讯息，以作为教材准备及补救教学的回馈.

本文将分为三个部分来作讨论，分别是几何图形概念、皮亚杰的空间概念理论与玍an Hiele几何思考理论.

几何图形概念

美国数学教师协会提出：几何乃研究空间中的形状和空间关系，几何可帮助人们用有条理的方式，表现和描述生活的世界.几何是一门探讨空间关系与逻辑推理的数学.刘秋木（1996）在研讨几何概念的意义中也提到，人类生存于世界便需要认识世界的种种性质，人们透过知觉运动与世界互动中，发现有些东西是可以滚，有些是可堆栈的，于是加以分析归纳，分别出平的与曲的两种属性，形成平面与曲面的概念.在这种探索中人们分析出许多有用的属性，如形状、大小、方向，等等.依据这些属性，几何学家建立了他们的几何学问，而产生一些几何系统.上述皆是针对几何学的说明，虽然表面叙述的形式有所不同，但是都强调几何是在研究空间中物体间的变化、转换及其相互关系，因此所指的内涵都是相同的.

图形是为了明确地表现实物的形状、大小、位置而产生的一种概念，从图1中，我们可以进一步知道几何图形概念是经“理想化”或“抽象化”的过程而得到的概念（吴贞祥，1990）.例如：“四边形”概念的形成，是生活中看到各种不同的四边形实物，像书本、桌子、冰箱，等等，这些四边形的实物经过观察、思考、归纳、统整后，发现一个共同特征，即均由四条线段所围成的封闭图形，由此呈现“形”的本质.

图1 图形概念的形成过程

在几何图形概念中，刘好(1998）曾做以下描述：图形并非实际存在的东西，它是附着于具体存在的物体上，从具体实物中摒弃其颜色、气味、材质、轻重、硬度、厚度、大小等特性之抽象结果.特性均可由肉眼具体明确地观察，唯有此物体的“形状”对儿童而言是较为抽象的，它必须摒弃此物体各种不相干的属性，它不因物体的颜色，或大小，或摆放的位置而改变它.简单地说，它仅是实物外观的样子.我们最常接触的是立体的图形，平面图形是将具体物的表面拓印出来的结果，通常透过立体图形的面来辨识.综合以上描述几何图形的概念可知，日常生活中经常与几何息息相关，而建立空间的概念与图形间的察觉、辨识、发现性质与关系是有相互关联的.

皮亚杰的空间概念理论

皮亚杰等人(1960)研究儿童的几何概念发展，随着儿童年龄的成长对于空间知觉能力的进展，所呈现出的几何性质(geometrical properties)有拓扑性(topological)、投影性(projective)、欧几里得性(Euclidean).儿童几何概念之形成即依上述三个阶段之顺序，在4岁以前为拓扑几何概念，依据图形是否封闭或开放而定，完全忽视有关边长、角度、大小等欧氏几何关系，完全是属于基本拓扑几何概念；4~7岁为投影性空间概念；一直到7岁开始才有欧氏几何概念.以下将叙述这三种几何体系:

一、拓扑学概念阶段（4岁以前）

此一阶段的儿童与运思前期认知发展阶段有关，仅能掌握拓扑学的图形概念，即只注意到图形的内或外，对于直线与曲线，尚未具有严格区分的能力.同时，对于长度或角的差异，也不能做详细观察.例如要求儿童仿画正方形或长方形，则往往会画成浑圆的形状，或各边中间画成凹凸不直，甚至画成近乎圆的形状.此外，儿童对左右位置的变换也感到茫然，他们并非不能感觉左右或曲直的不同，而是他们在认知上无法了解构成左右或曲直的差异因素罢了.他们只能从接近、分离、包围、顺序、连续等观点来考虑事物的性质.例如：圆或四边形都是一个连续的简单封闭图形，然而，这阶段的儿童却不能区分两者的差异.他们对于物体的形状、大小、角度等要素都不会加以留意.

二、投影几何学阶段（4~7岁）

此一阶段的儿童相当于运思前期到具体运思期认知发展阶段.皮亚杰等人(1960) 认为这个阶段的儿童对外界的认知，自己本身所在观点的视觉比其他的条件占较优越的地位，凡是经过视觉所承认的事物，他们才认为是真实的存在，而蕴藏在视觉之外的事物都不真实，他们深信各种形状都会原本照着视觉的感受而变化.例如：本来已确认是正方形的颜色纸，若一旦拿开，放在相隔一段距离的远处，在儿童的心目中则认为变成了菱形或梯形，而且也变小了.如果再把它拿回原来的位置，儿童却又认为形状和大小都会回复到原来的样子.又例如：平行的火车轨道，因随着距离的远离，看起来其宽度会逐渐变狭窄，看同一物体时会因相隔愈远而显得愈小，这种情形在小孩来说，并不是轨道的宽度看起来变狭窄，或是物体的形状看起来较小，而是认为真的变狭窄或形状真的变小.

总之，这时期的儿童对外界的认知，视觉要比其他条件占优势，深信形或量都会原原本本照着视觉的感觉而变化.

三、欧几里得几何学阶段（7，8~11，12岁）

由于欧几里得几何学涉及测量工作者，与距离、角度、并行线、直线等的保留有关，就欧几里得几何学的概念建构而言，长度保留与距离保留二者是较为基本的.儿童获得长度及距离保留能力，特别是长度保留能力之后，自然能发展出测量的概念，儿童最初是以最靠近自己的、本身最熟悉的工具（自己的手或躯体）来测量，皮亚杰将此种策略称为“手的迁移”及“躯干迁移”；以后随着认知的发展，儿童渐会使用量尺工具以补助测量.此外，面积保留概念约在本阶段发展.在小学，儿童的图形概念大部分都已发展到欧几里得几何学概念阶段，所以根据皮亚杰的说法，在本阶段的儿童应该都具备有关于线段长短、角度大小或面的大小的意识.

从以上的说明可知：皮亚杰理论的研究重点在于儿童发展几何概念的思考模式，探讨几何概念形成的运思程序，从最初发展的拓扑关系，到投影再到欧几里得关系，是属于年龄取向的阶段论，注重发展的过程.

玍an Hiele几何思考理论

Van Hiele几何思维层次

Van Hiele夫妇于1959年开始研究几何思维发展与设计几何教学课程，并且很快地受到苏联教育家的注意.这个模式的最显著特色是将空间思维的了解分为五个层次，这五个层次分别叙述了对几何事件的思考过程特征.

一、第0层次：可视化（玍isualization）

学生对图形的辨识与命名是根据其整体外观的，也就是说图形的视觉特征——看起来像是什么形状.在这个层次中，学生可以操作、测量，甚至讨论形状的性质.但是，这些性质并不是我们所认为的那么明确，这只是学生对这个图形外表所下的定义.一个正方形就是一个正方形（因为它看起来就像是一个正方形）.在这个层次中，是以外观为优势取向，它甚至能取代图形的性质意义.例如：一个正方形如果被旋转45度后摆放，那么对一个处于第0层次思维的孩子来说，这就不是一个正方形了.这个层次的孩子对图形的区别及分类，还是深受视觉外观的影响（我把它们放在一起，因为分一分以后看起来都一样）.由此说明此一阶段的活动，宜多安排感官操作之活动，让儿童透过视觉进行分类、造型、堆栈、描绘、着色等活动获得概念.

二、第1层次：分析（Analysis）

在分析这个层次的学生能够考虑一整组的形状，而不是只对单一的图形有认识.他们不只能讨论这个矩形，他们还可能去讨论所有的矩形.透过一整组的图形来看，学生可以去思考怎样去制造一个矩形，使它能成为一个矩形（有4个边、对边平行且等长、4个角是直角、对角线会全┑取…）.在这个层次中，学生开始会去欣赏图形的集合，并且能把拥有同性质的图形聚集在一起.对单独形状的想法会慢慢地一般化到同一类的图形中，而且能适用到其他的类别里.在第1层次中操作的学生，可以列出所有正方形、长方形、平行四边形的性质，但是还无法看出它们彼此之间的包含关系，像正方形是包含于长方形，而长方形则是包含于平行四边形.

三、第2层次：非形式演译（Informal deduction）

当学生开始能够不受制于特别物体的约束而去思考几何对象的性质时，他们就是已经具备发展对性质关系了解的能力了.（如果4个角都是直角，那这个图形就是长方形.如果一个图形是正方形，那么它所有的角就必须都是直角.所以，一个正方形也一定是一个长方形.）在这个层次中，比较大的能力发展是“如果……那么”的推论，图形通常可以从最小的特征来做分类.举例来说，4边等长而且至少有一个直角的条件就足以定义一个正方形；而长方形则是一个具有直角的平行四边形.他们能由性质中的关系来做观察，并且能聚焦在对于这些性质的逻辑论述.处于第2层次思维的学生，已经能够遵循并且体会这种关于图形性质的非形式推论讨论了.不过，他们对正式推理系统的公理结构的体会能力还是停留在很表层的.

四、第3层次：形式演译（獶eduction）

在第3层次中，学生已经有能力去检验图形的性质了.当非形式论述的分析发生了，那么公理、定义、理论、推论及假设的系统架构就要开始发展，这也正是建立几何真理的必要过程.在这个层次中，学生开始体会到逻辑系统的需要，并且会仰赖一些来自于不同真理的最小假设.这个层次的学生已经有能力对几何性质做抽象性的叙述，并且能够减少依赖直观的方式就能作出一些合乎逻辑的推论.第3层次的学生在操作中可以观察得到一个长方形的两条对角线彼此是对分的，这就像是一个在较低思维层次的学生能做到的一样.但是，对处于第3层次的学生而言，他们还能够体会到要如何地去从论述的推论中来证明这件事的必要性.第2层次的思维者和他们比较起来就只能去做到遵循论述的结果，却无法体会其中“为什么”的重要性了.

五、第4层次：严密性（玆igor）

在玍an Hiele思考层级的最高层次中，是要理解公理系统间的关系，而不是只在一个系统中做推论.而要能理解不同系统中的差异及关系，这几乎是相当于一个从事几何研究的数学专家一样了.

在各层次中，叙述了学童是如何思考，以及他所思考的几何概念形式为何，而不是指他拥有了多少的知识.当学童要从一个层次进入到另一个层次时，他的几何思维就会有所改变.因此几何概念的发展，在上述五个层次有其次序性，学习者必须具备前一层次的先备知识后，教师才能依据该能力，进行更高层次的教学活动.

玍an Hiele几何思考层次的特征

根据獵rowley（1987）对于Van Hiele几何思考层次的特性的描述，他提出了五个特性，兹将这五个特性分述如下：

1.次序性（Sequential）

在玍an Hiele几何思考的发展层次中，学习者的发展层次一定是循序渐进，在任何一个层次要成功的发展，则必须拥有前一层次的各项概念与策略.

2.增强性或加深加广性（獳dvancement）

从一个层次进阶到另一个更高的层次，受到教学的影响比因年龄因素的影响来得大，教师适当的教学与引导可以提升学童的几何思考概念，但是没有一种教学方法能使学生跳过某一层次，而直接进入到下一层次.这些方法或许能够增强过程发展，但也有一些过程会阻碍各层次间的转换.

玍an Hiele指出：如果教导程度较高的学童超过他实际层次的其他能力，亦是可行的.如几何的实例，包括面积公式的记忆或如正方形是长方形的一种集合关系，像这些关系，当讨论主题已降到较低层次而学童仍不能了解时，即表示其成熟度不够，学习终将无法达成，亦不宜强迫灌输.

3.内因性与外因性（獻ntrinsic and Extrinsic）

在某一层次的性质是属于内在的性质，到了下一个层次，此一性质就有可能成为外显的性质.例如：在层次一中，仅由图形的外观来辨认图形，但到了第二层次，则是发现由图形的特征和组成要素来进行分析.

4.语言性（獿inguistics）

在每一层次中，均有属于自己的符号语言和这些符号的相互关联系统，因此，在某一层次中属于正确的概念，到了另一个层次时这个概念就必须加以修正.如：正方形可称为长方形，又可以称为平行四边形，在第二层次的学生可能无法将上述观念概念化，但到了第三层次即可能理解其间的关联性.

5.不配合性（玀ismatch）

处于不同思考层次的人，彼此间不能相互地沟通、了解.学童无法了解或解决超过他们层次的教材或是问题.假若学童是属于第一层次，而老师的教学又是在另一个层次，那么期望的学习历程或是教学效果就不可能会发生，尤其是教师的教学过程、教材内容、教具的选择、教具的准备和语汇的应用，均是属于较高的层次，学童是无法完全理解其过程与结果.

玍an Hiele的五个教学阶段

如前所述，玍an Hiele认为各层次间的成长过程主要是倚靠指导，而非由于不同年龄的成熟度，因此教学的组织与方法、教材的选择与使用是非常重要的.基于以上的理念，Van Hiele也提出从一个层次要进阶到下一个层次的几何教学可分为五个阶段，透过这五个阶段的学习之后，使学生的思考层次能进阶到下一个层次，兹将此五个教学阶段简要介绍如下（谭宁君，1993；吴德邦，1998）：

1.第一阶段：学前咨询（information）

在此阶段，教师与学生双向讨论即将要教的主题，老师作观察并发问，借此了解学生的旧知识，学生也得知即将学习的方向.

2.第二阶段：引导方向（玝ound orientation）

此阶段之教学是让学生活跃地探索、操作，教师的角色则是引导学生做合宜的探索活动——亦即当学生在操作形体时，教师有结构、有顺序、一步步地引导其了解设定的概念与几何程序.

3.第三阶段：解释说明（玡xplication）

此阶段学生在其直觉知识基础上，已开始注意并理解几何关系.教师带领学生以他们自己的语言讨论正在学习的主题，并将几何概念与关系提升至明显理解的层次.一旦学生表现已理解正在学习中的主题，而且也用自己的语言讨论，教师就开始介绍相关的术语.

4.第四阶段：自由探索（玣ree orientation）

教师在这个阶段的角色是选择适当的教材和几何题目，鼓励学生运用所学到的概念去省思并解答这些几何题目，且容许不同的解题方法.

5.第五阶段：整合（玦ntegration）

最后阶段学生乃将所学的作一总结，将几何概念与程序统整成一个可述说、可运用的网络，最后组织成认知基模.教师之角色是鼓励学生去省思与巩固其几何知识.

学童在某一个几何思考层次，经过这五阶段学习后，会发展到下一个新的几何思考层次.新的几何思考范围也会取代旧的几何思考范围，而学生也将进入更高的层次，再开始重复上述这五个阶段的历程.透过教师适当的教学、引导活动，使学生进阶到下一层次能变得更容易，学生不会因为年龄的增长而进阶到下一个层次.

数学专家学者曾提出几何课程的设计及教学与￢an Hiele几何思考层次有密切关联，如刘好（1998）曾说明由于几何教材内容属性的差异，会影响学习者落入不同层次中，小学低年级学童大都在层次一的视觉期，故其对几何图形的了解须借由实物的操作、观察、描述与比较，经过无数次具体经验，使其在视觉层次具备丰富经验后，才能渐进地达到较高层次.中年级学童大约可以达到层次二，宜安排一些制作及检验的活动，使学童从制作与检验中获得图形的性质.高年级学童大约在层次二至层次三的过渡时期，可经由适当的观察学习及实际验证的方法，分析图形构成要素及图形的性质（吴德邦， 1998）.

从玍an Hiele几何思考理论观点，层次一的重点在于以视觉认识图形，层次二的重点在于分析图形的构成要素与其间关系，层次三的重点在于图形的定义及其间关系的推理，前三层次是属小学、初中的学习内容.层次四则是几何概念的演绎推理，层次五的重点在于了解抽象推理几何，此两个层次应属于高中、大学以上或专家的学习内容.台湾数学学习领域课程深受玍an Hiele的层次论影响.由此可知几何教材内容安排是合乎Van Hiele夫妇的几何思考发展层次.

小学几何教材可分为平面图形与立体空间两部分，图形与空间的学习，应该从学生的生活经验中所熟悉的形体入手，发现形体的组成要素及形体间的关系，进而能确立空间的基本概念，教材的设计应透过学生所熟悉的生活情境来发展概念，并安排适当的活动，让学生获得足够的具体经验，进而抽象到形式化的数学结果.小学的几何教学，可以参考几何历史发展的轨迹与学童认知发展阶段，尽量让学童发挥、拓展其几何直觉，在操作中，认识各种简单几何形体与其性质，再慢慢加入简单的推理性质与彼此之间的关系，为以后衔接中学几何的教学打下良好的基础.

ァ静慰嘉南住开オ

［1］吴贞祥.幼儿的量与空间概念的发展.国教月刊，1990，37（1，2），1-10.

［2］吴德邦：Van Hiele几何思考层次之研究.台北：许氏美术印刷有限公司印行，1998.

［3］刘秋木.国小数学科教学研究.台北：五南书局，1996.

［4］刘好.平面图形教材之处理.台湾省国民学校教师研习会编印，1998：195-196.

［5］谭宁君.儿童的几何观——从Van Hiele 几何思考的发展模式谈起.国民教育，1993，33(5，6)，12-17.

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