几种函数类对复合运算的封闭性

孙树东

【摘要】在讨论黎曼可积函数类、勒贝格可测函数类、勒贝格可积函数类的封闭性时，只讨论到四则运算，至多讨论到极限运算，而对复合运算一般不作详细讨论，这无疑是个缺憾，文章就这些重要函数类对复合运算的封闭性作一些讨论.

【关键词】函数类；复合；封闭オ

一、黎曼可积函数类

设f与g都是区间上的函数且内层的值域不越出外层的定义域，在f与g可积或连续的条件下讨论f［g］的可积性.

1.若f与g都可积,则f［g］未必可积.

事实上,取g(x)=R(x)，x∈［0,1］,f(x)=玸gn玿，x∈［0,1］，则f与g都可积，而f［g(x)］=D(x)，x∈［0,1］却不可积.

2.若f与g都连续,则f［g］连续，当然可积.

3.若f连续，g可积，则f［g］可积

这个结论的证明在教科书中可以找到，不赘述.

4.若f可积，g连续，则f［g］未必可积.

事实上，取f(x)=0，x黀，お1，x∈P，獂∈［0,1］，其中P是［0,1］上的康托三分集，g(x)=θ-1(x)，其中θ（x)为康托函数，

则g(x)在［0,2］上连续，f(x)在［0,1］上可积，但ゝ［g(x)］=0，x黀，お1，x∈P在［0,2］上却不可积.原因是f［g(x)］的不连续点集θ(P)的测度为1.

二、勒贝格可测函数类

设f与g都是可测函数且内层的值域不越出外层的定义域，在f与g可测或连续的条件下讨论f［g］的可测性.

1.当外层函数f与内层函数g都连续时，复合函数ゝ［g］连续，当然可测.

2.当外层函数f连续，内层函数g可测时，复合函数ゝ［g］必可测.

3.当外层函数f可测，内层函数g连续时，复合复数ゝ［g］未必可测.

现举例如下：令g(x)=θ-1(x)，其中θ(x)为康托函数.则g(x)在［0,2］上连续，在θ(P)中取不可测集E，令f(x)=0，xθ-1(E)，お1，x∈θ-1(E)，则f(x)的不连续点集为康托三分集P的子集，所以测度为0，因而f(x)可测.而f［g(x)］=0，x麰，お1，x∈E，显然为不可测函数.

由于连续函数都可测，所以可得.

4.当外层函数f与内层函数g都可测时，复合函数ゝ［g］未必可测.

三、勒贝格可积函数类

设f与g都是有界可测函数且内层的值域不越出外层的定义域，在f与g勒贝格可积或连续的条件下讨论f［g］的勒贝格可积性.

1.当外层函数f与内层函数g都连续时，复合函数ゝ［g］连续，当然勒贝格可积.

2.当外层函数f连续，内层函数g勒贝格可积，则复合函数f［g］勒贝格可测，因而可积.

3.当外层函数f勒贝格可积（即可测），内层函数g连续，复合函数f［g］未必勒贝格可测，因而未必可积，进而可得.

4.若f与g都可积，则f［g］未必可积.

注释 康托函数θ(x)的构造：

设P是［0,1］上的康托三分集，将它的余区间作如下分类：第一类是区间长为1[]31的20个区间1[]3,2[]3；第二类区间长分别为1[]32的21个区间1[]9,2[]9，7[]9,8[]9；第三类是区间长分别为1[]33的22个区间1[]27,2[]27，7[]27,8[]27,19[]27,20[]27，25[]27,26[]27；依此类推.

作函数θ1(x)如下：在第一类的20个区间上，当x∈1[]3,2[]3时，θ1(x)=1[]2.在第二类的21个区间上，当x∈1[]9,2[]9时，θ1(x)=1[]4；当x∈7[]9,8[]9时，θ1(x)=3[]4.在第三类的22个区间上，θ1(x)依次取1[]8,3[]8,5[]8,7[]8.在第n类的2﹏-1个区间上，θ1(x)依次取1[]2琻,3[]2琻,5[]2琻,7[]2琻,…，2琻-1[]2琻，n∈N*.

于是θ1(x)在P的余集G上有了定义且它在G的任一构成区间上为常数，显然θ1(x)在G上是增函数.

在P上θ1(x)的定义：θ1(0)=0,θ1(1)=1.对任一介于0与1之间的P中的点x0，令θ1(x0)=﹕up玿

记θ(x)=θ1(x)+x,则θ(x)在［0,1］上连续且严格上升，因而存在反函数.易知θ(［0,1］)=［0,2］,m{θ［0,1］-P}=1,m［θ(P)］=1.

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［1］实变函数与泛函分析基础［M］.北京：高等教育出版社,1983.

［2］实变函数［M］.北京：科学出版社,2007.

［3］实变函数论与泛函分析［M］.北京：高等教育出版社,2004.

［4］实变函数与泛函分析［M］.济南：山东大学出版社,2005.オ