S0函数类的增长定理和高阶导数估计

郑小慧

【摘要】獽unio Yamaguchi［1］为S0函数类做了偏差估计，给出了玆e玣′(z)的最好的下界.建立该偏差估计的主要工具是从属原理,见［2］.在本文中，应用正实部函数类P的增长定理，我们得到了S0函数类的增长定理，用正实部函数类的表示定理得到了S0函数类的高阶导估计.

【关键词】S0函数类；正实部函数类P；增长定理；偏差定理

一、引 理

引理1［3］ 若f(z)是单位圆盘D上的全纯函数，ゝ(0)=1，玆e玣(z)≥0，z∈D，则成立不等式

1-|z|[]1+|z|≤玆e玣(z)[]z≤f(z)[]z

≤1+|z|[]1-|z|,|z|<1.

引理2［3］ 设f∈H(D)，则玆e玣(z)≥0，衵∈D，当且仅当存在［0,2π］上非减函数μ，满足μ(2π)-μ(0)=㏑e玣(0)，使得

二、主要结果

定理1 设f(z)∈S0，则

(1)1-|z|[]1+|z|≤玆e玣(z)[]z≤f(z)[]z≤1+|z|[]1-|z|,|z|<1.

(2)若f(z)=z+А啤轠]n=2a璶z琻，ピ騶a璶|≤2，等号成立当且仅当f(z)=z1+z玡-玦θ猍]1-z玡-玦θ.

证明 （1）令g(z)=f(z)[]z，其中z∈D，ピ蛴蒮(z)∈S0，ビ術(z)∈H(D)，玆e玤(z)≥0，

且g(0)=f′(0)=1，因此g(z)∈P.ゴ佣由引理1，有

1-|z|[]1+|z|≤玆e玤(z)≤|g(z)|≤1+|z|[]1-|z|,|z|<1.

故1-|z|[]1+|z|≤玆e玣(z)[]z≤f(z)[]z≤1+|z|[]1-|z|,|z|<1.

(2)令g(z)=f(z)[]z，则由于f(z)=z+А啤轠]n=2a璶z琻，ゴ佣鴊(z)=1+А啤轠]n=1a璶z琻.ヒ虼擞梢理1，有|a璶|≤2，サ群懦闪⒌鼻医龅眊(z)=1+z玡-玦θ猍]1-z玡-玦θ.ス实群懦闪⒌鼻医龅眆(z)=z1+ze-玦θ猍]1-ze-玦θ.

定理2 若f(z)∈S0，则

|f(n)(z)|≤2n﹏+1,其中n=2,3，…

证明 令g(z)如定理1中证明所定义，则g(z)∈H(D)，玆e玤(z)≥0，其中z∈D.ビ梢理2知，存在［0,2π］上的非减函数μ，满足μ(2π)-│(0)=玆e玤(0)=1，使得

f(z)[]z=А要2π01+z玡-玦θ猍]1-z玡-玦θ玠μ(θ)，z∈D.

所以f(z)=А要2π0z+z2玡-玦θ猍]1-z玡-玦θ玠μ(θ)，z∈D.

等式两边关于z求导，得

f(z)关于z求n阶导，得

由于|1-z玡-玦θ獆>1-|z|，故当|z|<1时，有

|f(n)(z)|≤2n!А要2π01[](1-|z|)﹏+1玠μ(θ)

=2n﹏+1,(n=2,3,…).

【参考文献】オ

［1］K.Yamaguchi.On functions satisfying Re珄f(z)/z}>0.Proc.Amer.Math.Soc.(1966),588-591.

［2］E.Hille.Analytic function theorey.II,Ginn,Boston,1962.

［3］P.L.Duren.Univalent functions.New York,Springer睼erlag,1983.