素理想(p)在域Q(λ[]μ,ξ璶)上的素理想分解

王涛

【摘要】设F=Q（λ[]μ,ξ璶)，其中λ为奇素数，nⅹ2(玬od4).本文分两种情况讨论了Q中素理想(p)在F上的素理想分解形式：（1）n=λ；（2）(n,λ)=1.

【关键词】素理想分解;分歧指数;剩余类域次数オ

由于在F为代数数域且含有l次本原单位根（l为奇素数）时，文［1］完全解决了F中素理想在F(l[]μ)中的分解问题.┪模2］对p为奇素数时完全解决了有理数域中素理想p在㏎(l[]μ)中的分解问题（l为奇素数）.本文采用扩张平移的方法并应用这个结果来解决有理数域中素理想(p)在㏎（λ[]μ,ξλ)中的分解问题（λ为奇素数）.

以下设F为域，φ为秩为1的非平凡、非阿基米德赋值，(p)为与其对应的素理想，R为其赋值环，xλ-μ为F上不可约多项式，μ∈R，λ为素数，λ与域F的特征互素.若㎏/F为λ次獹alois扩张，则有：

引理1 (p)在K中的分解只能为以下三种形式：

①完全分歧的，即(p)=Pλ；

②惯性的，即(p)=P；ア弁耆分裂，即（p)=P1P2…Pλ.

引理2 设P1,P2为(p)在F(ξλ)中的任意两个扩张，则P1,P2在F(λ[]μ,ξλ)中的分解形式相同，其中ξλ为λ次本原单位根.

引理3 P在F(λ[]μ)中为完全分歧的（素的）充要条件为：P在F(ξλ)中的某一扩张在F(λ[]μ,ξλ)中为完全分歧的（素的）.

引理4 素理想(p)在Q(λ[]μ)中的分解由(p)在Q(ξλ)中的任意扩张在Q(λ[]μ,ξλ)中的分解完全确定.设P为素理想(p)在Q(ξλ)中的任意扩张，有

(1)P在Q(λ[]μ,ξλ)中为完全分歧的(p)在Q(λ[]μ)中为完全分歧的；

(2)P在Q(λ[]μ,ξλ)中为惯性的(p)在Q(λ[]μ)中为惯性的；

(3)若P在Q(λ[]μ,ξλ)中为完全分裂的，ア俚(p,λ)=1时，则(p)在Q(λ[]μ)中的分解为(p)=P0P1P2…P璼，其中〆(P璱/(p))=1，i=0,1,2,…,s，f(P0/(p))=1，f(P璲/(p))=f，j=1,2，…，s，sf=λ-1；ア诘眕=λ时，则(p)在Q(λ[]μ)中的分解为(p)=P0P1│-1，其中f(P璱/(p))=1， i=0,1， e(P0/(p))=1，〆(P1/(p))=λ-1.

引理5 设K=Q(ξ璵)，m2(玬od4)，则

(a)素数p在K中不分歧的充要条件是p竚.并且在这个时候，pQ璌=P1…P璯，其中g=φ(m)[]f，而f=f(P璱/p)等于﹑(玬od玬)的阶数（即f是满足p琭≡1(玬od玬)的最小正整数）.

(玝)如果p|m，令m=p瑀•m′，p竚′,则pO璌=(P1…P璯)琫.其中e=φ(p瑀)，g=φ(m′)[]f，f=f(P璱/p)为p(玬od玬)的阶数.

定理1 当n=λ时，记P为(p)在Q(ξλ)中的任意素理想扩张，Q为Q(λ[]μ,ξλ)中的素理想.

（玜）当(p,λ)=1时，(p)在Q(ξλ)中分解为(p)=㏄1P2…狿璯，ィí玝）当p=λ时，(p)在Q(ξλ)中分解为(p)=P│-1，其中g=φ(λ)/f，f(P璱/(p))=f，（i=1,2,…,g），f为p(玬odλ)的阶数.有以下结论：

①当P在Q(λ[]μ,ξλ)中完全分歧时，则

（玜）当(p,λ)=1时，(p)在Q(λ[]μ,ξλ)中分解形式为：(p)=(Q1Q2…Q璯)│霜，ゝ(Q璱/(p))=猣，i=1,2，…，g;ィí玝）当p=λ时，(p)在Q(λ[]μ,ξλ)中分解形式为：(p)=Q│甩(λ)（完全分歧）.

②当P在Q(λ[]μ,ξλ)中惯性时，则

（玜）当(p,λ)=1时，(p)在Q(λ[]μ,ξλ)中分解形式为：(p)=Q1Q2…Q璯，f(Q璱/(p))=λf，i=1,2,…，g；ィí玝）当p=λ时，(p)在Q(λ[]μ,ξλ)中分解形式为：(p)=Q│(λ)，f(Q/(p))=λ.

③当P在Q(λ[]μ,ξλ)中完全分裂时，则

（玜）当(p,λ)=1时，(p)在Q(λ[]μ,ξλ)中分解形式为：(p)=А莋[]i=1∏λ[]j=1Q﹊j，ゝ(Q﹊j/(p))=猣，i=1,2,…，g,j=1,2,…，λ;ィí玝）当p=λ时，(p)在Q(λ[]μ,ξλ)中分解形式为：(p)=(Q1Q2…Qλ)│-1，ゝ(Q璱/(p))=1,i=1,2,…，λ.

证明 只选取①②③中一种情形来证明，其他可类似推出.

下面来证明③:ィí玜）当（p,λ)=1时，根据(p)在㏎(ξλ)中分解为(p)=P1P2…P璯，对i=1,2,…，g，P璱为(p)在㏎(ξλ)中的扩张，当P璱在Q(λ[]μ,ξλ)中完全分裂时，有P璱=Q﹊1猀﹊2…Q﹊λ，即得出(p)=А莋[]i=1∏λ[]j=1Q﹊j，根据文献［3］中的指数传递公式和剩余类域次数传递公式，容易算出f(Q﹊j/(p))=f，﹊=1,2,…，g,j=1,2,…，λ；ィí玝）当p=λ时，(p)在Q(ξλ)中分解为(p)=P│-1，P在Q(λ[]μ,ξλ)中完全分裂时，有P=Q1Q2…Qλ，即得出(p)=(Q1Q2…Qλ)│-1，根据文献［3］中的指数传递公式和剩余类域次数传递公式，容易算出

f(Q璱/(p))=1,i=1,2,…，λ.

下面定理中当(n,λ)=1并且n2(玬od4)时Q(λ[]μ,ξ璶)/㏎(λ[]μ)为φ(n)次獹alois扩张，这是因为：记F=㏎(λ[]μ)，ξ璶在F(ξ璶)上极小多项式为φ(n)次分圆多项式│氮璶(x)=И∏猲 [] k=1(k,n)=1(x-ξ琸璶)∈F［x］，这里的每个本原单位根ξ琸璶麱，其中ξ璶为n次本原单位根，从而F(ξ璶)=Q(λ[]μ,ξ璶)为Φ璶(x)=И∏猲 [] k=1(k,n)=1(x-ξ琸璶)在F上的分裂域，根据文献［3］附录獳中獹alois扩张的等价条件即得结论.

定理2 当(n,λ)=1并且n2(玬od4)时，对獹alois扩张Q(λ[]μ,ξ璶)/Q(λ[]μ)，记P为(p)在Q(λ[]μ)上的任意素理想扩张，Q为Q(λ[]μ,ξ璶)中素理想.

（玜）P在Q(λ[]μ,ξ璶)中完全分歧时，P=Q│(n)；

（玝）P在Q（λ[]μ,ξ璶）中惯性时，P=Q；

（玞）P在Q（λ[]μ,ξ璶）中完全分裂时，P=Q1Q2…Q│(n)；

（玠）P在㏎（λ[]μ,ξ璶）中为一般分解形式时,P=（Q1Q2…Qゞ)〆，满足〆 ゝ ゞ=φ(n)（注意：这里的e,f和g分别代表P在Q（λ[]μ,ξ璶）中素理想分解的分歧指数、剩余类域次数和分裂次数）.则有以下结论：

（1）当(p)在Q(λ[]μ)中完全分歧时

①满足（玜）情况时，则(p)在Q（λ[]μ,ξ璶）中的素理想分解形式为(p)=Q│甩(n)；

②满足（玝）情况时，则(p)在Q（λ[]μ,ξ璶）中的素理想分解形式为(p)=Qλ；

③满足（玞）情况时，则(p)在Q（λ[]μ,ξ璶）中的分解形式为(p)=(Q1Q2…Q│(n))λ；

④满足（玠）情况时，则(p)在Q（λ[]μ,ξ璶）中的素理想分解形式为(p)=(Q1Q2…Qゞ)│霜〆.

（2）当(p)在Q(λ[]μ)中在中惯性时

①满足（玜）情况时，则(p)在Q（λ[]μ,ξ璶）中的分解形式为(p)=Q│(n)；

②满足（玝）情况时，则(p)在Q（λ[]μ,ξ璶）中的分解形式为(p)=Q；

③满足（玞）情况时，则（p)在Q（λ[]μ,ξ璶）中的分解形式为(p)=Q1Q2…Q│(n)；

④满足（玠）情况时，则(p)在Q（λ[]μ,ξ璶）中的素理想分解形式为(p)=(Q1Q2…Qゞ)〆.

（3）当(p)在Q（λ[]μ）中分解形式是(p)=P0P1…P璼时，其中e(P璱/(p))=1，i=0,1,2,…,s，f(P0/(p))=1，ゝ(P璲/(p))=猣，j=1,2,…,s，sf=λ-1，这里f为p(玬odλ)的阶数.因为P璱(i=0,1,2,…,s）在Q（λ[]μ,ξ璶）中具体分解形式不确定，但Q（λ[]μ,ξ璶）/Q（λ[]μ）为φ(n)次獹alois扩张，根据文献［3］中獹alois扩张理论，不妨设为如下素理想分解形式：㏄0=(Q01猀02…Q0ゞ0)〆0，P1=(Q11猀12…Q1ゞ1)┆〆1，…，

P璼=(Q﹕1猀﹕2…Q﹕ゞ璼）〆璼，其中f(Q﹊k/P璱)=ゝ璱，〆璱ゝ璱ゞ璱=φ(n)，k=1,2，…,ゞ璱，﹊=0,1,2,…,s，则(p)在Q（λ[]μ,ξ璶）中的分解形式为(p)=(Q01猀02…Q0ゞ0)〆0•(Q11猀12…Q1ゞ1)┆〆1…(Q﹕1猀﹕2…Q﹕ゞ璼）〆璼，

根据f(Q﹊j/(p))=f(Q﹊j/P璱)•f(P璱/(p))，i=0,1,2,…,s，得到

f(Q0j/(p))=ゝ0，f(Q﹌j/(p))=ゝ璳•f，j=1,2,…,ゞ璳，k=1,2,…,s.

（4）当(p)在Q(λ[]μ)中分解形式是(p)=P0P1│-1，其中f(P璱/(p))=1，i=0,1，e(P0/(p))=1，e(P1/(p))=λ-1.因为P璱（i=0,1）在Q（λ[]μ,ξ璶）中具体分解形式不确定，但Q（λ[]μ,ξ璶）/Q（λ[]μ)为φ(n)次獹alois扩张，根据文献［3］中獹alois扩张理论，不妨设为如下素理想分解形式：P0=(Q01猀02…Q0ゞ0)〆0，P1=(Q11猀12…Q1ゞ1)┆〆1，则(p)在Q（λ[]μ,ξ璶）中的素理想分解形式为：

(p)=(Q01猀02…Q0ゞ0)〆0•(Q11猀12…Q1ゞ1)┆〆1(λ-1)，其中ゝ(Q﹊k/P璱)=ゝ璱,〆璱 ゝ璱 ゞ璱=φ(n)，k=1,2,…，ゞ璱，i=0,1.

证明 仅选取一种情况来证明，其他可类似得出.

选取（3）来证明：将P璱（i=0,1,2,…，s）在Q（λ[]μ,ξ璶）中的素理想分解形式依次代入(p)=P0P1…P璼，便得到（3）中结论，根据文献［3］中剩余类域次数传递公式，此处即ゝ(Q﹊j/(p))=猣(Q﹊j/P璱)•f(P璱/(p))，i=0,1,2,…，s，得到ゝ(Q0j/(p))=ゝ0，f(Q﹌j/(p))=ゝ璳•f，j=1,2，…，ゞ璳,k=1,2,…，s.

注意 根据文献［3］中有限次獹laois扩张理论，定理2的（3）和（4）中〆璱，ゝ璱，ゞ璱相对于P璱在Q（λ[]μ,ξ璶）中的素理想分解是唯一确定的.

ァ静慰嘉南住开オ

［1］Erich Hecke.Lectures on the Theory of Algebraic Numbers［M］.Speringer睼erlag New York inc,1981.

［2］郝一凡，高恩伟，张金霞.素理想(玴)在玅(l[]μ)中的分解［J］.数学杂志,2002,22(1):94-96.

［3］冯克勤.代数数论［M］.北京:科学出版社，2000.