对偶模型的最佳技术投资时机

陈树敏

【摘要】本文以对偶模型描述研发型公司的现金流，假定公司可以通过注入资金来防止破产并可选择在未来某一时刻投资于技术设备来提高自身收益，目标是最小化注入资金总额.应用混合奇异控制—最优停时方法，本文得到最佳技术投资时机的半显式表达式.

【关键词】混合奇异控制—最优停时；技术投资；对偶模型オ

1.引 言

近年来，经典风险模型的对偶模型R璽=x-ct+S0璽成为精算数学研究的热点.模型中c表示单位时间费用，复合玃oisson过程S0璽=А篇㎞0璽﹊=1Y璱表示t时刻为止的累积盈利.其中N0璽是强度为λ0的玃oisson过程，Y璱,i=1,2，…是独立同分布随机变量.该模型经常被用来描述制药、石油勘探等研发型公司，更多模型的应用可见文献［1~3］.模型的相关研究可见［1~3,5,8］.以上工作主要考虑了模型的分红问题及破产概率问题.此外,文献［4］采用类似的模型（加入了扩散扰动）描述风险投资的资金流,考虑(1)当允许注入资金时的最佳獻PO时刻，(2)公司最佳分红策略，并得到值函数及最佳策略的显式表达式.

本文以科研机构（公司、研究所等）为例对对偶模型进行分析.在这一背景下R可理解为公司用于研发的资金.公司单位时间向员工支付固定工资c开展研发工作,当研究取得突破性进展时（如申请到专利、项目等）公司可以获得收益Y璱.这里λ0代表了平均单位时间内研发成果数量.我们假定公司可以得到外来资金（通过融资或其他方式）以保持公司的正常运转.此外,受文献［4］启发,我们假定公司可以投资于某一项新技术（例如购买新技术设备或者科技文献数据库等），新设备的运用使得公司平均单位时间的成果数目由λ0增加到λ1.我们的目标是最小化公司融资的期望贴现值.

2.模 型

为了对模型进行严格的数学描述，我们给定概率空间(Ω,F,P)及滤子族F:={F璽}﹖≥0，记非减过程L璽为到t时刻为止累积向公司注入的资金.在技术投资之前，盈余过程满足玠玆璽=-c玠玹+玠玈0璽+玠獿璽,R0-=x,其中x是初始盈余，L璽是一非减、F璽适应过程，使得R璽≥0.因此我们只考虑R璽≥0的情形.记τ为公司投资于新技术的时间，在τ时刻公司支出资金I，在此之后公司的收益由S1,t=А篇㎞1,t﹊=1Y璱描述，其中{N1,t獇﹖≥0是参数为λ1>λ0的玃oisson过程.给定投资时机τ，公司的盈余满足随机过程

玠玆璽=-c玠玹+1﹖≤τ玠玈0璽+1﹖>τ玠玈1璽+玠獿璽-玠獻璽,R0-=0.

其中I璽=I1﹖≥τ表示技术投资过程，1│亍蔄是示性函数.决策的目标是最小化公司未来累积注入资金Jτ(x)=E瑇А要∞0И玡-rt玠獿璽,其中r是贴现率.我们的目标是寻求τ*∈S，使得

V(x)锚﹊nfτ∈SJτ(x)=J│营*(x),x≥0.(1)

3.模型求解

以下求解值函数V.为了便于分析求解，我们假定Y璱的分布函数为F(z)=1-玡-μz.注意到Jτ(x)=E瑇А要│-0玡-rt玠獿璽+玡-rτ狤㏑│--I∫∞0玡-rt玠獿璽.

其中E㏑│--IА要∞0玡-rt玠獿璽П硎炯际跬蹲屎蟮娜谧识疃.记V1(y)=E瑈А要∞0玡-rt玠獿璽В则有

V(x)=﹊nfτ∈SE瑇А要│-0玡-rt玠獿璽+玡-rτ猇1(R│--I).(2)

由动态规划原理易知V1满足

-cV′1(y)+λ1А要∞0V1(y+z)玠獸(z)-(r+λ1)V1(y)=0.(3)

该方程有解V1(y)=C玡-βy,其中

β=［(λ1+r)-μc+［μc-(λ1+r)］2+4crμ］[]2c.ビ闪续性，方程(3)对y=0同样成立.由此可得边界条件V′1(0)=-1，进而C=1[]β.因此，V1(y)=玡-βy猍]│1﹜≥0+1[]β-﹜1﹜<0.给定初始盈余x，V1(x-I)表示公司在0时刻投资于新技术之后的累积注入资金.当不考虑技术投资时，记注入资金为V0(x)=E瑇А要∞0И玡-rt玠獿璽.类似计算可得V0(x)=-1[]α-玡│联-x1﹛≥0-1[]α-+x1﹛<0，其中

α-=-［(λ0+r)-μc+［μc-(λ0+r)］2+4crμ］[](2c).

优化问题(2)是一混合奇异控制—最优停时问题.为求解这一优化问题，我们需要以下验证性定理.

定理1 若非负函数v满足

玬in(-cv′(x)+λ0А要∞0(v(x+y)-v(x))玠獸(y)-rv(x),V1(x-I)-v(x))=0,v′(0)=-1,

(4)

则v(x)≥V(x).进一步，若存在点x璫使得

-cv′(x)+λ0А要∞0v(x+y)-v(x)玠獸(y)-rv(x)=0,﹛∈(0,x璫)，(5)

v(x)=V1(x-I),x∈(x璫,∞)，(6)

则v(x)=V(x)，且τ*锚玦nf珄t≥0;R璽≥x璫}是最佳投资时间.

验证性定理的证明可见［7］.

以下求解方程(4)~(6).由x璫的定义，在(0，x璫)上v满足

-cv′(x)+λ0А要∞0v(x+y)玠獸(y)-(r+λ0)v(x)=0.

以上方程有通解v0(x)=A玡│联+x+B玡│联-x,x∈(0,x璫),其中A,B是待定参数，ウ联+=μc-(λ0+r)+［μc-(λ0+r)］2+4crμ[]2c.因此v可表示为

v(x)胿0(x),x∈［0,x璫］,

V1(x-I),x∈（x璫,∞).

以下确定参数A,B,x璫.由v在x璫处一阶导数连续，

A玡│联+x璫+B玡│联-x璫=1[]β玡-β(x璫-I),

Aα+玡│联+x璫+Bα-玡│联2x璫=-玡-β(x璫-I）.(7)

因此，

A=玡-α+x璫玡-β(x璫-I)α-[]β+1α--α1,B=玡-α-x璫玡-β(x璫-I)α+[]β+1α--α1.

再由v′(0)=-1，Aα++Bα-=-1.将A,B代入可得

α+(α-/β+1)玡-(α++β)x璫-α-(α+/β+1)玡-(α-+β)x璫=(α+-α-)玡-βI.(8)

求解以上非线性方程可得x璫，进而我们可求得A,B.

引理1 非线性方程组(7)~(8)存在唯一解(A,B,x璫)，且x璫∈(I,∞),A<0

引理2 v″(x)>0,x∈R+＼{x璫}.

以下是本文主要结论.

定理2 v=V,相应的，τ*=玦nf珄t≥0;R璽=x璫}是最佳投资时间.

证明 我们只需验证满足验证性定理各条件.由v的构造可知(5)~(6)成立，且v′(0)=-1.以下证明v满足(4).直接计算可知，

-cV′1(x-I)+λ0А要∞0(V1(x-I+z)-V1(x-I))玠獸(z)-rV1(x-I)≥0,x∈(x璫,∞),

且有v0(x)≤V1(x-I)，x∈(0,x璫).记y=x-I，则对﹛∈(x璫,∞),y>0.显然，

-cV′1(y)+λ0А要∞0(V1(y+z)-V1(y))玠獸(z)-rV1(y)=(λ0-λ1)А要∞0(V1(y+z)-V1(y))玠獸(z)≥0.

ゼ荝(x)=﹙0(x)-猇1(x-I).则由方程组(7)，R(x璫)=v0(x璫)-V1(x璫-I)=0.

又由(8),得R′(I)=v′0(I)-V′1(0)>0.

又R′(x)=0,﹛∈(I,∞)存在唯一解x璫，因此，R′(x)>0,﹛∈(I,x璫)，R(x)<㏑(x璫)=0,x∈(I,x璫).

特别的，R(I)<0.对x∈(0,I)，由引理2可知R′(x)=﹙′0(x)+1>0.ヒ虼薘(x)<0对x∈(0,I)同样成立.ヒ虼(4)成立.根据验证性定理，v=V，而τ*=玦nf珄t≥0;㏑璽=獂璫}即为最佳投资时间.オ

【参考文献】オ

［1］Albrecher,H.,A.Badescu,et al.(2008).“On the dual risk model with tax payments.” Insurance:Mathematics and Economics 42(3):1086-1094.

［2］Avanzi,B.and H.U.Gerber (2008).“Optimal dividends in the dual model with diffusion.” ASTIN Bulletin 38(2):653-667.

［3］Avanzi,B.,J.Shen,et al.(2010).Optimal Dividends and Capital Injections in the Dual Model with Diffusion.

［4］Bayraktar,E.and M.Egami (2008).“Optimizing venture capital investments in a jump diffusion model.” Mathematical Methods of Operations Research 67(1):21-42.

［5］Bayraktar,E.and V.Young (2011).“Proving regularity of the minimal probability of ruin via a game of stopping and control.” Finance and Stochastics:1-34.

［6］Ng,A.C.Y.(2009).“On a dual model with a dividend threshold.” Insurance:Mathematics and Economics 44(2):315-324.

［7］Oksendal,B.(2005).Stochastic differential equations:an introduction with applications Berlin Heidelberg New York,Springer-Verlag.

［8］Yao,D.,H.Yang,et al.(2011).“Optimal dividend and capital injection problem in the dual model with proportional and fixed transaction costs.” European Journal of Operational Research 211(3):568-576.