实线性空间强有效性的性质

陈剑尘 储慧英

【摘要】在实线性空间中引进序有界线性泛函和强有效性，通过序有界基泛函研究强有效性的一些性质.

【关键词】实线性空间；序有界；基泛函；强有效性

【基金项目】国家自然科学基金资助项目（11061023）；江西省自然科学基金资助项目（2010GZS0176）；博士启动金（EA200907383）；南昌航空大学研究生科技创新基金（YC2010020）オ

獵heng和Fu［1］在局部凸空间中引进了强有效的概念，并且讨论了强有效性和其他有效性之间的关系.武育楠等［2］和王其林［3］分别在Hausdorff局部凸拓扑向量空间中在锥—类凸和广义锥次似凸假设下研究了集值映射向量优化问题的强有效性，获得了包括其标量化在内的一些结论.徐义红［4-6］在近似锥次类凸假设下利用了凸集分离定理和择一性定理得到了集值映射向量优化问题的强有效性的Kuhn睺ucker与Lagrange最优性条件的充分和必要条件,余丽［7］在内部锥类凸假设下利用凸集分离定理得到了强有效解的Lagrange乘子定理，而徐义红等［8］讨论了当目标函数和约束函数都是弧连通锥凸时强有效解的最优性条件.尚无人在只有线性结构没有拓扑结构的实线性空间中对强有效性问题进行研究.

本文将强有效的概念推广到没有拓扑只有线性结构的实线性空间中，并在实线性空间中定义序有界线性泛函，通过序有界基泛函来研究强有效性，得到强有效性的一些性质.这些性质是今后在实线性空间中进一步研究强有效性的关键工具，具有十分重要的作用.

1.基本概念

假设X为实线性空间，X′为X的代数对偶空间，C是X的非平凡凸锥.设A糥为任一非空子集，A的正对偶和严格正对偶分别定义为A+={l∈X′:〈l,a〉≥0,衋∈A}和A+s={l∈X′:〈l,a〉>0,衋∈A＼{0瓁}}.

定义1.1［9］ 称锥玞one(A)={x∈X:靓恕0,a∈A,x=λa}为A的生成锥.

定义1.2［10］ 设A糥为任一非空子集,A的代数内部和相对代数内部分别定义为オ玞or(A)={x∈A:衳′∈X,靓恕>0,笑恕剩0,λ′］,x+λx′∈A}.

玦cr(A)={x∈A:衳′∈L(A),靓恕>0，笑恕剩0,λ′］,﹛+λx′∈A}.

若锥C满足C∩（-C）={0}，则C为点锥.

定义1.3［9］ 称凸锥{0}≠C的凸子集B为C的一个基是指衳∈C＼{0}，都存在λ>0,b∈B，使得x=λb且表示唯一.

定义1.4［11］ 设A糥为任一非空子集，A的代数闭包和向量闭包分别定义为

玪in(A)=A∪{x∈A:鯽∈A,［a,x)糀}.

玽cl(A)={b∈X:鰔∈X,笑恕>0,靓恕剩0,λ′］,b+λx∈A}.

容易得出A吉玪in(A)吉玽cl(A).

若A分别满足A=玪in(A)和A=玽cl(A)，则称A分别为代数闭集和向量闭集.因此若A是向量闭，则A也是代数闭.在拓扑线性空间X中，则A的拓扑内部、相对内部、拓扑闭包分别记为玦nt(A)，玶i(A)，玞l(A)，故玽cl(A)吉玞l(A).于是若A是拓扑闭集，则一定是向量闭集.对于拓扑内部非空的凸集来说，其拓扑闭包、向量闭包和代数闭包都是一致.

定义1.5［12］ 设C为X的序凸锥,若a≤b,称集合﹞x:a≤猉≤b}为X上由a和b关于序锥C的序区间.记为［a,b］.

定义1.6［12］ 设C为X的序凸锥,称A为X的非空子集为序有界的,若存在a,b∈X且a≤cb,有A迹踑,b］.

定义1.7 设X为实线性空间，定义X°为将X中序区间映成有界的实数集的线性泛函的全体所组成的集合，称为X的序有界对偶空间.

显然有:(1)X°糥′；

(2)若f∈X′且f为单调的，则一定有f∈X°，即X°≠В华

(3)若A糥，类似地有（A+）°={l∈X°:〈l,a〉≥0,┆衋∈狝}为A的序有界正对偶,(A+s)°={l∈X°:〈l,a〉>0,衋∈A＼{0瓁}}为A的序有界严格正对偶；

(4)若B为实线性空间X的凸锥C的基,那么存在f0∈X′＼{0X′獇，使得衎∈B，都有〈f0,b〉=1，且f0为X上单调线性泛函，故f0∈X°；

（5）称B﹕t={f∈X′:鰐>0,玸.t.〈f,b〉≥t,衎∈B}为锥C的基泛函.显然有B﹕t≠.当B为凸锥C的序有界基时,类似地可以定义序有界基泛函为(B﹕t)°={f∈X°:鰐>0,┆玸.t.〈f,b〉≥t,衎∈B}.(B﹕t)°糂﹕t糃+s糃+和(B﹕t)°≠И┚显然成立.

2.主要结果

在本节中假设X为实线性空间，A糥，C为X中相对代数内部非空的向量闭凸点锥，B为C的基.

下面在实线性空间中引进强有效性.

定义2.1 假设X为实线性空间，C为X中相对代数内部非空的向量闭凸点锥，B为C的基，A为X中的非空子集.称x0∈A为集合A关于锥C的强有效点是指若对于任意的f∈X°，都存在凸吸收集U和凸平衡吸收集V，使得〈f,K∩(U-玞one(V+B))〉有界.其中K=玽cl［玞one(A-x0)］.

记GE(A,C)为A关于锥C的强有效点的全体.

注2.1 由上定义可得若x0∈GE(A,C)，则对任意的ゝ∈猉°，都存在凸吸收集U和凸平衡吸收集V，使得〈f,玞one(A-x0)∩(U-玞one(V+B))〉有界.

引理2.1 设X为实线性空间，A为X中的非空子集，ゝ∈猉′＼{0X′獇.若{〈f,A〉}为有界集，则{〈f,玽cl獳〉}为有界集.

证明 假设{〈f,玽cl獳〉}为无界集,则对于任意的n∈N都存在x璶∈玽cl獳，使得〈f,x璶〉>n.由向量闭包的定义知对于﹛璶∈玽cl獳，鰕璶∈X,鯩璶>n，有x璶+1[]M璶y璶∈A.记z璶=x璶+1[]M璶y璶，故z璶∈A.由{〈f,A〉}为有界集知〈f,z璶〉为一有界数.而另一方面知〈f,z璶〉=〈f,x璶+1[]M璶y璶〉>n+1[]M璶〈f,y璶〉，而由n∈N的任意性知〈f,z璶〉为无界数，这与前面证明的〈f,z璶〉为一有界数矛盾.故假设不成立，于是{〈f,玽cl獳〉}为有界集.

定理2.1 设X为实线性空间，A为X中的非空子集，C为X中相对代数内部非空的向量闭凸点锥，B为C序有界基，则(1)GE(A+C,C)糋E(A,C)；（2）衳0∈GE(A,C)，衒∈(B﹕t)°，存在凸吸收集U0和凸平衡吸收集V0，使得〈f,玽cl(玞one(A+C-x0))∩(U0-玞one(V0+B))〉有界.

证明 (1)令x0∈GE(A+C,C)，由强有效点的定义知衒∈X°，都存在凸吸收集U和凸平衡吸收集V，使得〈f,﹙cl［玞one(A+狢-x0)］∩［U-玞one(V+B)］〉有界.由于0∈C，于是(A-x0)(A+C-x0)，进一步玽cl(玞one(A-x0))吉玽cl(cone(A+C-x0)).从而对于上述的f存在上述的U和V使得〈f,玽cl［玞one(A-x0)］∩［U-玞one(V+B)］〉有界.即x0∈GE(A,C)，故GE(A+C,C)糋E(A,C).

(2)假设结论不成立，则鰔′∈GE(A,C),鰂0∈(B﹕t)°，对于任意的凸吸收集U和任意的凸平衡吸收集V有

〈f0,玽cl(玞one(A+C-x′))∩(U-玞one(V+B))〉.(1)

无界.

由注2.1和引理2.1可得〈f0,玞one(A+C-x′)∩［U-玞one(V+B)］〉无界.由于U,V为任意的，特别地取V=U，于是

〈f0,玞one(A+C-x′)∩［U-玞one(U+B)］〉.(2)

无界.

由x′∈GE(A,C)知对于上述的f0∈(B﹕t)°，存在凸吸收集U及凸平衡吸收集V，使得〈f0,玞one(A-x′)∩［U-┆玞one(￢+狟）］〉有界.特别地取U^=U∩V，则

〈f0,玞one(A-x′)∩［U^-玞one(U^+B)］〉有界.（3）

令〈|f0|,x〉=|〈f0,x〉|，衳∈X,则|f0|为X上的半范，且由拓扑线性空间知识可得在X上存在由该半范生成的唯一的拓扑T﹟f0|，使得(X,T﹟f0|）为局部凸空间，且ω=﹞f-10(εU0):ε>0，U0为R中开单位球}为它的一个零元邻域基.在(2)式中令U=U璶，而U璶=f-101[]nU0，其中n∈N.于是U璶∈ω.故衝∈N，鯩璶∈〈f0,玞one(A+C-x′)∩［U璶-玞one(U璶+B)］〉，使得M璶>N.则鰔璶∈{［玞one(A+C-x′)］∩［U璶-玞one(U璶+B)］}使得〈f0,x璶〉≥M璶.于是{〈f0,x璶〉}趋于+∞的数列.故存在λ璶≥0,a璶∈A,c璶∈C,﹗′璶∈猆璶,u″璶∈U璶,μ璶≥0,b璶∈B，使得

x璶=λ璶(a璶+c璶-x′)=u′璶-μ璶(u″璶+b璶).(4)

于是

〈f0,x璶〉=〈f0,u′璶〉-μ〈f0,u″璶〉-μ璶〈f0,b璶〉.(5)

由于u′璶∈U璶,u″璶∈U璶，对于由|f0|引进的拓扑以及n的任意性知u′璶，u″璶均为趋于0璛.故〈f0,u′璶〉,〈f0,u″璶〉均趋于0.由于B为C序有界基以及f∈X可得〈f0,b璶〉有界，于是由(5)式知{μ璶}为无界实数集.

由c璶∈C=玞one(B)知，鯾′璶∈B，ρ璶≥0,使得c璶=ρ璶b′璶.由(4)式可得ウ霜璶(a璶-x′)=u′璶-μ璶(u″璶+b璶)-λ璶ρ璶b′璶.(6)

当μ璶=0时，由(6)式可得

λ璶(a璶-x′)=u′璶-λ璶ρ璶b′璶∈U璶-玞one（B）糢璶-ヽone(U璶+狟).

当μ璶≠0时，令a璶=1+λ璶ρ璶[]μ璶≥1，则由(6)式可得λ璶(a璶-x′)=u′璶-μ璶a璶u″璶[]a璶+b璶a璶+1-1[]a璶b′璶

.由于B为凸集知鯾^璶∈B，使得b璶a璶+1-1[]a璶b′璶=b^璶.于是λ璶(a璶-x′)=﹗′璶-μ璶a璶u″璶[]a璶+b^璶∈U璶-玞one(U璶+B).故

λ璶(a璶-x′)∈玞one(A-x′)∩(U璶-玞one(U璶+B)).(7)

由n的任意性及(3),(7)式可得{〈f0,λ璶(a璶-x′)〉}为有界实数集.

另一方面，当μ璶≠0时，有〈f0,λ璶(a璶-x′)〉=〈f0,u′璶〉-μ璶a璶〈f0,u″璶〉[]a璶+〈f0,b^璶〉.由f0∈(B﹕t）°知鰐>0，使得〈f0,b^璶〉>t[]2(n→∞).再由前面的证明知〈f0,u′璶〉,〈f0,u″璶〉均趋于0，和{μ璶}为无界实数集，于是〈f0,λ璶(a璶-x′)〉→∞(n→∞)与前面{〈f0,λ0(a璶-x′)〉}为有界实数集矛盾.故结论成立.即衳0∈GE(A,C)，衒∈(B﹕t)°，存在凸吸收集U0和凸平衡吸收集V0，使得〈f,玽cl(玞one(A+C-x0))∩(U0-玞one(V0+B))〉有界.

注2.2 设X为实线性空间，A为X中的非空子集，C为X中相对代数内部非空的向量闭凸点锥，B为C序有界基,GE(A,C)糋E(A+C,C)不一定成立.

例 设X=R2，C=R+，A={（1，2）}，定义X上的线性泛函为〈f,(x,y)〉=x+y，则(1,2)∈GE(A,C)，但(1,2)麲E(A+C,C).

事实上，由于C=R+为X中相对代数内部非空的向量闭凸点锥，且可知C有基B.B显然为序有界基，又由〈f,(x,y)〉=x+y知{〈f,B〉}为有界集.

类似以上定理中的证明令〈|f|,x〉=獆〈f,x〉|，衳∈X，则|f|为X上的半范，且由拓扑线性空间知识可得在X上存在由该半范生成的唯一的拓扑T﹟f|，使得(R2,T﹟f|）为局部凸空间，且ω={f-1(εU0):ε>0,U0为R中开单位球}为它的一个零元邻域基.

令U为(R2,T﹟f|)中的任一邻域，则

(U-玞one(B+U))=R2，

进而玽cl(玞one(A-(1,2)))∩(U-玞one(B+U))={(0,0)}，

故〈f,玽cl(玞one(A-(1,2))）∩(U-玞one(B+U))〉=0.

即（1，2）∈GE(A,C).

而玽cl(玞one(A+C-(1,2)))∩(U-玞one(B+U))=R+,

则{〈f,玽cl(玞one(A+C-(1,2)))∩(U-玞one(B+U))〉}为无界集.即(1,2)麲E(A+C,C).オ

【参考文献】オ

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