归纳方法在数学解题中的应用

朱自成

归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段.这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思路.

例1 设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a≤b≤c，如果b=n(n是自然数)，试问：这样的三角形有多少个？

分析与解 我们先来研究一些特殊情况：

(1)设b=n=1，这时b=1，因为a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，….若c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形.可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个.

(2)设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表1.

表 1

a[]c[]三角形个数

2[]2，3[]2

1[]2[]1

这时满足条件的三角形总数为：1+2=3.

(3)设b=n=3，类似地可得表2.

表 2

a[]c[]三角形个数

3[]3，4，5[]3

2[]3，4[]2

1[]3[]1

这时满足条件的三角形总数为：1＋2＋3=6.

通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形总数为：

1+2+3+…+n=n(n+1)[]2.

这个猜想是正确的.因为当b=n时，a可取n个值(1，2，3，…，n)，对应于a的每个值，不妨设a=k(1≤k≤n).由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k个(n，n＋1，n＋2，…，n＋k-1).所以，当b=n时，满足条件的三角形总数为：

1+2+3+…+n=n(n+1)[]2.

例2 设1×2×3×…×n缩写为n！(称作n的阶乘)，试化简：1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n.

分析与解 先观察特殊情况：

(1)当n=1时，原式=1=(1＋1)！-1；

(2)当n=2时，原式=5=(2＋1)！-1；

(3)当n=3时，原式=23=(3＋1)！-1；

(4)当n=4时，原式=119=(4＋1)！-1.

由此作出一般归纳猜想：原式=(n+1)！-1.

下面我们证明这个猜想的正确性.

1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+…+n！×n)

=1！×2＋2！×2＋3！×3+…+n！×n

=2！+2！×2＋3！×3＋…+n！×n

=2！×3+3！×3+…＋n！×n

=3！+3！×3+…+n！×nぃ健

=n！+n！×n=(n＋1)！，

所以原式=(n+1)！-1.

例3 设x＞0，试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小.

分析与解 本题直接观察不好作出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中作试验比较，或许能启发我们发现解题思路.为此，设x=0，显然有

x3＜x2+x+2.①

设x=10，则有x3=1000，x2+x＋2=112，所以

x3＞x2+x+2.②

设x=100，则有x3＞x2+x+2.

观察、比较①②两式的条件和结论，可以发现：当x值较小时，x3＜x2+x+2；当x值较大时，x3＞x2+x+2.

那么自然会想到：当x=？时，x3=x2+x+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”.为此，设x3=x2＋x＋2，则

x3-x2-x-2＝0，

(x3-x2-2x)＋(x-2)=0，

(x-2)(x2+x+1)=0.

因为x＞0，所以x2+x+1＞0，

所以x-2=0，所以x=2.

(1)当x=2时，x3=x2+x+2；

(2)当0＜x＜2时，因为x-2＜0，x2+x+2＞0，

所以(x-2)(x2＋x+2)＜0，即x3-(x2＋x+2)＜0，

所以x3＜x2＋x＋2.

(3)当x＞2时，因为x-2＞0，x2+x+2＞0，ニ以(x-2)(x2+x+2)＞0，即x3-(x2＋x＋2)＞0，ニ以x3＞x2＋x＋2.

综合归纳(1)(2)(3)，就得到本题的解答.

练习 平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行(即每两条直线都相交)，也没有三条或三条以上的直线通过同一点.试求：

(1)这n条直线共有多少个交点？

(2)这n条直线把平面分割为多少块区域？