利用极坐标计算二重积分的方法和技巧

袁 荣

【摘要】利用极坐标计算二重积分是高等数学的重点，也是难点.本文总结了利用极坐标计算二重积分的条件和一般步骤，着重介绍了如何写出积分区域D在极坐标系下的不等式组表示的方法和技巧.

【关键词】二重积分；极坐标；积分区域

【中图分类号】玂172オ

计算二重积分的一般方法是先选择适当的坐标系，然后利用所选择的坐标系将二重积分化为累次积分，最后通过计算单积分求得二重积分；而化为累次积分的难点是积分上下限的确定.本文就极坐标系下的二重积分的计算谈一点体会.

一、选用极坐标计算的条件

通常的情形是以直角坐标给出需要计算的二重积分，那么何时选用极坐标系来计算二重积分呢？一般来说，积分区域的边界曲线用极坐标方程表示比较简单的时候（如积分区域是圆盘、圆环、扇形，或为由心形线、双纽线等围成等），或者被积函数用极坐标表示比较简单的时候(如被积函数是f(x2+y2)，fy[]x或fx[]y的形式等)，可以考虑选用极坐标.

二、写出极坐标系下积分区域D的不等式组表示

在采用极坐标计算二重积分时，通常都将它化为先对r、后对θ的累次积分，并且按极点O在积分区域之外、在积分区域的边界上与在积分区域之内三种不同的情形来确定对θ积分的积分上下限与对r积分的积分上下限，即将D在极坐标下表示的不等式组写出来.具体步骤一般如下：

（1）先根据题设条件画出积分区域D的草图；

（2）以坐标原点O为极点，x轴为极轴建立极坐标系，然后从O出发引射线穿过积分区域D，且射线与D的边界最多两个交点(部分边界与射线重合的除外,否则将D分块)，确定θ∈［α,β］；

（3）取定θ∈［α,β］，D中幅角为θ的点的极半径r从﹔1(θ)变到r2(θ)，于是

D的极坐标表示的不等式组可写为D：α≤θ≤β,

r1(θ)≤r≤r2(θ).

则К隓f(x,y)玠玿玠珁=К隓f(r玞osθ,r玸inθ)r玠玶玠θ

=А要βαИ玠θА要﹔2(θ)﹔1(θ)Иゝ(r玞osθ,猺玸inθ)r玠玶.

在教学中发现，不少学生不懂如何将D在极坐标系下的不等式组表示写出，这是造成二重积分困难和错误的最大原因.

1.极点在积分区域D外或极点在积分区域D内

D的极坐标表示的不等式组一般较容易写出，一般为

D：α≤θ≤β,

r1(θ)≤r≤r2(θ).

则オК隓f(x,y)玠玿玠珁=А要βαИ玠θА要﹔2(θ)﹔1(θ)f(r玞osθ,r玸inθ)r玠玶.

2.极点在积分区域D的边界上

极点在积分区域D的边界上时,不少学生误以为0≤│取塥β,比如下面的例1.

例1 设二重积分I=К隓f(x,y)玠玿玠珁,其中积分区域D是由曲线y=x+x2与直线y=3x所围成的有界闭区域，将二重积分I化为极坐标形式的二次积分.

图 1解 积分区域D如图1阴影部分：此题容易出错的是θ的范围，常错误的以为0≤θ≤π玔]3，其实因为x轴在坐标原点与曲线y=x+x2和直线y=3x都不相切，所以θ≠0.易知曲线﹜=獂+x2上点的幅角范围就是θ的取值范围，因此在曲线y=x+x2上任取一点P(x,y)，令┆玹anθ=獃[]x，而y=﹛+獂2,0≤x≤3-1.

所以玹anθ=y[]x=x+x2[]x=1+x，从而1≤玹anθ=1+x≤3，即π玔]4≤θ≤π玔]3.

К隓f(x,y)玠玿玠珁=А要π玔]3π玔]4И玠θА要(玹anθ-1)玸ecθ0f(ρ玞osθ,ρ玸inθ)ρ玠ρ.

此题求幅角θ的取值范围的方法具有一般性，也是写出积分区域D在极坐标系下的不等式组表示的常用方法和技巧.

例2 求积分区域D={（x,y）|x2+y2≤2x}在极坐标系下幅角θ的取值范围.

解 因为积分区域D如图2阴影部分：

图 2オ

因为极点在积分区域D的边界上,且曲线x2+y2=2x上点的幅角范围就是θ的取值范围，因此在曲线x2+y2=2x上任取一点P(x,y)，令玹anθ=y[]x，而y=±2x-x2,0≤﹛≤2.

所以玹anθ=y[]x=±2x-x2[]x=±2[]x-1，

从而-∞≤玹anθ≤+∞，即-π玔]2≤θ≤π玔]2.

三、灵活选择积分次序

利用极坐标计算二重积分时，一般选择先对r积分后对θ积分，但还应注意被积函数的特点，灵活选择积分次序.

例3 利用极坐标计算：I=К隓x玡瑈玠σ，其中D是圆周﹛2+獃2=1所围成第一象限部分.

解 易见D的极坐标表示的不等式组为

D：0≤θ≤π玔]2,

0≤r≤1.

则К隓x玡瑈玠玿玠珁=А要π玔]20И玞osθ玠θА要10r2玡﹔玸inθ玠玶，ビ捎讵А要10r2玡﹔玸inθ玠玶不易算出，因此考虑交换积分次序.

故К隓x玡瑈玠玿玠珁=А要10И玠玶А要π玔]20r2玡﹔玸inθ玞osθ玠玶=А要10r玠玶玡﹔玸inθπ玔]20=おА要10r(玡瑀-1)玠玶=1[]2.

通过上述例题可以看出利用极坐标计算二重积分的方法和技巧还是很强的，为了学好二重积分的计算，需要掌握一定的方法和技巧.

ァ静慰嘉南住开オ

［1］曹广福等编.高等数学(二)［M］.北京：高等教育出版社,2009.

［2］同济大学应用数学系.高等数学（第五版）［M］.北京：高等教育出版社,2002.

［3］郑兆顺.谈二重积分的计算［J］.河南教育学院学报,2007(16)：2.