一道填空题引发的教学思考

孙 荣

无锡市2011年期末考试结束后，我对试卷进行了分析，希望通过试卷的分析对我今后的教学有所帮助.一道填空题引起了我的注意.因为我发现这道填空题和压轴的填空题是类似的，但学生却很难发现，所以两道题的正确率有天壤之别，一个是96%,另一个却只有12%.于是我拿了试卷在学生中进行了问卷调查.

例1 （无锡市2011年期末考试填空题12）

不等式x+1[]x

≥|a-2|+玸in珁对一切非零实数x,y均成立，则实数a的范围为.

这一道题目对大多数同学来说都比较容易，解题过程如下：

解 ∵x+1[]x≥2①,

∴|a-2|+玸in珁≤2②.

∴玸in珁≤2-|a-2|③.

又 ∵玸in珁的最大值为１④，

∴2-|a-2|≥1⑤.

∴1≤a≤3.

我问学生是怎么做的，他只能回答我是恒成立问题，通过参变分离转化为求函数的最值.但当我再问他为什么第１３题和这道题目是一样的题型却没做出来时，他惊讶地看着我：“难道这两道题是一个题型？”为了解决他的疑惑，我耐心地为他解答了第13题.

例2 （无锡市2011年期末考试填空题13）

已知函数ゝ(x)=獂2+2x，若存在实数t,当x∈［1,m］时，f(x+t)≤3x恒成立，则实数m的最大值为.

解 由题意得：对衳∈［1,m］,(x+t)2+2(x+t)≤3x恒成立.①

即对衳∈［1,m］,x2+(2t-1)x+t2+2t≤0恒成立.②

构造g(x)=x2+(2t-1)x+t2+2t,ビ啥次函数图像可得：

∵g(1)≤0,

g(m)≤0,

③∴-4≤t≤0,

m2+(2t-1)m+t2+2t≤0.

④

∴鰐∈［-4,0］,t2+(2+2m)t+m2-m≤0.⑤

构造h(t)=t2+(2+2m)t+m2-m,⑥

当-m-1≥0,即m≤-1,m2-m≤0，得0≤m≤1不成立.

当-m-1≤-4,即m≥3,m2-9m+8≤0，得1≤m≤8.

∴3≤m≤8.

当-1

综上所述，m的最大值为8.

学生更加困惑了：“我没发现是同一个题型啊，我只觉得既有存在问题，又有恒成立问题，把我都弄糊涂了，所以没找到突破口.”“突破口就在第12题啊.”其实学生在做12题从第一步到第二步的过程中，无意中把变量y看成了常数，而第二步到第三步的过程中恢复了y是变量的“身份”.那学生的“潜意识”中还是习惯于一个变量的恒成立问题，但这恰恰是解决本题的关键.那也就是说两个变量的问题，有时可以先把其中一个看成变量，另一个看成常量，从而使自己的解题思路更加清晰.那么第13题虽然既有存在问题又有恒成立问题，但不妨也可视作两个变量的题型，这正是两个题目的“共性”.所以我先把13题中t看成常数，那就是关于自变量x的恒成立问题（第②步），而处理完恒成立问题后就可把他看成是一道关于自变量t的存在性问题（第⑤步）.“这样思路看上去是不是就是一样的啦？”学生有所领悟.

通过这两道填空题的比较我发现学生对函数中多变量问题的题型比较薄弱.为了让学生更好地理解对该类问题的处理方法，我给出了作业中的一个例题给学生.

例3 《2011年江苏专版南方凤凰台——配套检测与评估》（专题一第5课时第10题）

已知函数f(x)=x玪n玿,a>0,゜>0，求证：f(a)+(a+b)玪n2≥ゝ(a+猙)-f(b).

证法一 单变量构造法

要证f(a)+(a+b)玪n2≥f(a+b)-f(b),

即证f(a)+(a+b)玪n2-f(a+b)+f(b)≥0.

即证a玪n玜+(a+b)玪n2-(a+b)玪n(a+b)+b玪n玝≥0.

不妨设b>a>0,

把b看成自变量，把a看成常数，构造

g(b)=a玪n玜+(a+b)玪n2-(a+b)玪n(a+b)+b玪n玝.

g′(b)=玪n2-(玪n(a+b)+1)+1+玪n玝=玪n2b[]a+b.

∵b>a>0,∴2b[]a+b>1，∴g′(b)>0.

∴g(b)在(0,+∞)上单调递增.

∴g(b)>g(a)=0.得证.

证法二 整体构造法

要证f(a)+(a+b)玪n2≥f(a+b)-f(b),

即证a玪n玜+(a+b)玪n2-(a+b)玪n(a+b)+b玪n玝≥0.

即证a玪n玜+a玪n2-a玪n(a+b)≥-b玪n2+b玪n(a+b)-b玪n玝.

即证a玪n2a[]a+b≥b玪n玜+b[]2b.

即证玪n2a[]a+b≥b[]a玪n玜+b[]2b.

令t=b[]a,即证玪n2[]1+t≥t玪n1+t[]2t.

构造f(t)=玪n2[]1+t-t玪n1+t[]2t=t玪n2t+玪n2-(t+1)玪n(1+t).

∴f′(t)=玪n2t[]1+t=0,

∴t=1.

∴f(t)在(0,1)上单调递减，(1,+∞)上单调递增.

∴f(t)最小值为f(1)=0.

即f(t)≥0.得证.

这时学生才恍然大悟.虽然是三道不同的例题，却是异题同构，解题的思路如出一辙，这就是题目本身存在的“共性”，这也正是学生希望得到的所谓学习数学的“捷径”.但“捷径”的背后需要我们不断去探索，所以多挖掘题目本身存在的“共性”，就能实现“以一抵百”，让学习变得轻松一点，胜人一筹.