绘制静定梁内力图的几点教学心得

王华 李志芳 邰燕

摘要： 正确绘制梁的内力图，是正确计算截面应力、变形和对梁进行正确配筋的前提。其绘制方法虽有多种，但在教学中采取何种方法能使学生快速掌握内力图的画法，有待进一步探索。针对“三本”独立学院学生的特点，本文结合实例，阐述了快速掌握内力图画法的一般步骤。

关键词： “三本”独立学院《建筑力学》梁内力图绘制方法

梁的内力图绘制指的是用图示法表示出剪力Q、弯矩M沿梁长变化的情况，是《建筑力学》教材中的一个重点和难点内容，也是建筑类专业学生必须掌握的基本功。鉴于“三本”独立学院学生基础较差、学习兴趣不浓等特点，加上《建筑力学》是一门较枯燥的专业课程，为使学生掌握绘制梁内力图这项基本功，我根据《建筑力学》课程的教学经验，总结出下述绘制梁内力图的方法。

1.绘制梁内力图的基本步骤及原理

1.1求梁的支座反力

支座反力的求解是正确绘制内力图的重要依据。支座反力一旦计算错误，接下来的各截面内力计算就会是错误，内力图的正确与否也就无从谈起。求解支座反力时，先要对梁进行正确的受力分析，画出受力分析图，再根据静力学平衡方程即可得到正确值。

1.2对梁进行分段

根据梁的荷载情况，假想把梁分成若干段，其原则是以荷载的作用点作为分段点，如集中荷载作用点、集中力偶作用点、均布荷载起止作用点，反力作用点。

1.3判断每段梁内力图形特征

在正式绘制每段梁的内力图之前，预先判断出其图形特征是必要的。主要是利用荷载集度、剪力与弯矩之间的微分关系，其数学表达式为：

=q(x)（1）；=Q(x)（2）；=q(x)（3）；

而在实际绘图过程中，往往只需要利用式1和式2的倒推关系式，即

?蘩q(x)dx=Q(x)（4）；?蘩Q(x)dx=M(x)（5）；

1.3.1当某段无荷载时，即q(x)=0，利用式4可得Q(x)为常数，则该段的剪力图形为水平直线，此时只需求出特征点（分段点）的剪力值便可绘制出剪力图。

1.3.2当某段有均布荷载时，即q(x)为常数，利用式4可得Q(x)为一次函数，则该段的剪力图形为倾斜直线，根据两点确定一条直线，此时只需求出特征点（两个分段点）的剪力值便可绘制出剪力图。

1.3.3当某段无荷载时，即Q(x)为常数，利用式5可得M(x)为一次函数，则该段的弯矩图形为倾斜直线，根据两点确定一条直线，此时只需求出特征点（两个分段点）的弯矩值便可绘制出弯矩图。

1.3.4当某段有均布荷载时，即Q(x)为一次函数，利用式5可得M(x)为二次函数，则该段的弯矩图形为抛物线，根据三点确定一条弧线，此时只需求出特征点（两个分段点和最值点）的弯矩值便可绘制出弯矩图。注意，弯矩最值点是剪力为零的点。

1.4求特征点（分段点）的内力值

1.4.1剪力。梁某横截面上的剪力，在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力在垂直于梁轴线方向投影的代数和，即Q=∑F。其代数和中外力的正负号规定与剪力的正负号规定一致。

1.4.2弯矩。梁某横截面上的弯矩，在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力对该截面形心的力矩的代数和，即M=∑M。其代数和中外力矩的正负号规定与弯矩的正负号规定一致。

1.5绘制内力图

综上所述，根据内力图形的特征和特征点（分段点）的内力值，即可绘制出每段梁的内力图。需注意的是，作图时要求基线长度和梁的轴线等长，截面对应，纵坐标值、正负号、图名和单位缺一不可。

2.应用举例

外伸梁如图1所示，已知q=5kN/m，P=15kN，画出该梁的内力图。

解：（1）求支座反力，其受力分析图如图2所示。

∑X=0，X=0；

∑Y=0，F+P=Y+Y；

∑M=0，F×5-Y×4+P×2=0；

即Y=20kN；Y=5kN。

（2）分段。

根据该梁荷载情况，分成AB段、BC段、CD段。

（3）判断内力图形特征。

AB段，有均布荷载，则其剪力图为倾斜直线，弯矩图为抛物线。

BC段、CD段，都无荷载，则其剪力图均为水平直线，弯矩图均为倾斜直线。

（4）求特征点内力值。

AB段，Q=0；Q=-F=-10kN；

M=0；M=-F×1=-10kN•m；M=0。

BC段，Q=Y-F=10kN；

M=-F×1=-10kN•m；M=Y×2=10kN•m。

CD段，Q=-Y=-5kN；

M=Y×2=10kN•m；M=0。

（5）绘图。

综上所述，可得剪力图如图3所示，弯矩图如图4所示。

3.结语

3.1受力分析图是正确求解支反力的关键。因此，教学中要注重培养学生画受力分析图的良好习惯，并做到一个隔离体对应一个受力分析图。

3.2对梁进行分段，并不是真正地把梁分段，只是假想出来的。

3.3在讲解荷载集度、剪力和弯矩之间的微分关系时，由于本院学生高等数学知识较为薄弱，无需对三个微分方程进行理论推导，可以用具体的实例，具体的数值，直观地验证它们之间的微分关系，并总结为“弯矩方程的一阶导是剪力方程”，“剪力方程的一阶导是荷载集度方程”。

3.4判断内力图形特征时，通常利用荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系。在教学过程中，我发现学生对于荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系能正确理解，如当某段梁有均布荷载时，即q(x)为常数，对q(x)积一次分可得剪力方程Q(x)为一次函数，则剪力图为直线。总结为“有均布荷载时，剪力图为倾斜直线，弯矩图为抛物线”，“无荷载时，剪力图为水平直线，弯矩图为倾斜直线”。

3.5当弯矩图为抛物线时，通常需要确定三个点的弯矩值，即两个分段点的弯矩值和最大值或最小值。由高等数学知识可知，弯矩的最值点是剪力为零的点，其大小可由M=∑M求得。对于某些教材中所介绍的“面积法”求最值，我认为可不必过多讲解，要求学生熟练掌握最基本求法即可。

3.6对于Q=∑F或M=∑M中正负的判别，可简化为“求谁与谁同”。如求剪力时，外力的正负与剪力的正负相同，即外力使某段梁作顺时针转动，则该外力为正，反之为负。需指出的是，该段梁为外力作用点与所求分段点所“夹取”的那一段。

3.7最后作图时，学生经常会出现缺少纵坐标值、正负号、图名和单位等情况。因此，在教学过程中，要时刻提醒学生尽量避免这种小问题，使学生养成严谨的学习态度。

参考文献：

［1］李前程，安学敏.建筑力学［M］.北京：中国建筑工业出版社，2005.

［2］彭贤玉.简捷法绘制单跨静定梁的内力图分析［J］.现代商贸工业，2008.

［3］游普元.口诀法快速绘制梁的内力图［J］.价值工程，2011.