图形背后的故事

杜兴宇

1979年，首次全国中学数学竞赛二试的题六是：

如图1，两圆O1，O2相交于点A，B，圆O1的弦BC交圆O2于点D，圆O2的弦BF

图1交圆O1于点E，证明：（1）若∠CBA=∠FBA，则CD=EF；（2）若CD=EF，则∠CBA=∠FBA．

证明连接AC，AD，AE，AF，则∠ACD=∠ACB=∠AEF，∠ADC=∠AFB=∠AFE，而有△ACD∽△AEF，从而有ACAE=CDEF，于是CD=EF贏C=AE贏C=AE凇螩BA=∠FBA．

“旧时王谢堂前燕，飞入寻常百姓家．”

这道试题平平常常，在现在九年级的习题里就能够找到，由此可见，数学竞赛并非高不可攀．

下面，我们来看31年之后这道试题又是如何演化为全国中学生数学冬令营赛题的！

显然，再用这道试题作为高水平的冬令营赛题是很不合适的，那么怎么办？命题人的做法是：改造成题，推陈出新．

1．变换试题叙述方法

命题1如图1，两圆O1，O2相交于点A，B，过点B的一条直线分别交圆O1，O2于点C，D，过点B的另一条直线分别交圆O1，O2于点E，F，证明：（1）若∠CBA=∠FBA，则CD=EF；（2）若CD=EF，则∠CBA=∠FBA．

图2如果用命题1作为赛题，也不太合适，因为参赛选手对于图1是非常熟悉的！

2．在变换试题叙述方法的同时变换图形

命题2如图2，两圆O1，O2相交于点A，B，过点B的一条直线分别交圆O1，O2于点C，D，过点B的另一条直线分别交圆O1，圆O2于点E，F，证明：（1）若∠CBA=∠FBA，则CD=EF；（2）若CD=EF，则∠CBA=∠FBA．

此时，图形陌生了！但如果用命题2作为赛题，当然也不太合适，因为参赛选手对于题目的条件与结论是非常熟悉的！

3．增加条件并且变换结论

如图3，令直线CF分别交圆O1，O2于点P，Q，设M，N分别是PB，QB的中点，则CM，FN都是△BCF的角平分线，注意到CD=EF荨螩BA=∠FBA，即知CM，FN，BA交于一点

图3（设为X），而有XC?XM=XA?XB=XF?XN，于是C，F，M，N四点共圆，至此，即可构成一道高水平的赛题：

命题3 如图3，两圆O1，O2相交于点A，B，过点B的一条直线分别交圆O1，O2于点C，D，过点B的另一条直线分别交圆O2，O2于点E，F，直线CF分别交圆O1，O2于点P，Q，设M，N分别是PB，QB的中点，求证：若CD=EF，则C，F，M，N四点共圆．（2010年中国数学奥林匹克试题一）

“做学问当于无疑处有疑．”一道题目做完之后，“不断变换你的问题”，往往可以提出一些新的问题，解题贵在精而不在多，这个“精”就体现在解题后的思考上．

数学多少事，尽在变换中！