探究一类条件函数的周期性探究一类条件函数的周期性

韩顺龙

【摘要】在对正切函数y=tanx的周期性考察中得知它的一个周期为π，把周期π与正切函数所满足的关系式tanx+π4=1+tanx1-tanx中的常数π4进行比较，发现了与之关系式结构相似条件f(x+A)=1+f(x)1-f(x)或f(x+A)=1-f(x)1+f(x)下的函数y=f(x)周期性的判定方法。

【关键词】探究;条件函数;周期;判定;方法

1。引 言

设函数y=f(x)定义域为D，对函数y=f(x)来说，若存在T使得当x∈D时，f(x+T)=f(x)恒成立，则T是函数y=f(x)的周期，同时也把像这样具有周期性的函数叫周期函数。若函数y=f(x)满足条件f(x+A)=1-f(x)1+f(x)，以下称条件函数，其中f(x)≠-1，x∈D，则它的周期性怎样？本文侧重讨论满足条件f(x+A)=1-f(x)1+f(x)或与之表达形式相似的条件的函数周期，并得到一般结论。

2。条件函数的周期性研究

若对任意x∈D，均有f(x)≠0，且满足条件f(x+A)=mf(x)或f(x+A)=-mf(x)，其中，m≠0，则容易推出：f(x+2A)=mf(x+A)=m×f(x)m=f(x)，或f(x+2A)=-mf(x+A)=-m×-f(x)m=f(x)。因此，根据周期函数定义便可得到：

定理1 若函数y=f(x)满足f(x+A)=mf(x)，或f(x+A)=-mf(x)，其中x∈D时f(x)≠0,m≠0，则它是一个以2A为周期的函数。

定理2 若函数y=f(x)满足f(x+A)=α-βf(x)α+βf(x)，α+βf(x)≠0，其中A，α，β为常数，αβ≠0，则

f(x+2A)=α（α-β)+β(α+β)f(x)α（α+β)+β(α-β)f(x)。

证明 ∵f(x+A)=α-βf(x)α+βf(x),

（1）

∴f(x+2A)=α-βf(x+A)α+βf(x+A)。

（2）

由（1）式可知：

α-βf(x+A)=α(α-β)+β(α+β)f(x)α+βf(x)。

（3）

α+βf(x+A)=α(α+β)+β(α-β)f(x)α+βf(x)。

（4）

把（3）式和（4）式代入（2）式并整理得：

f(x+2A)=α(α-β)+β(α+β)f(x)α（α+β)+β(α-β)f(x)。

在定理2中，若α=β，则条件变为f(x+A)=1-f(x)1+f(x)，同时与之对应的结论变为f(x+2A)=f(x)。因此，根据周期函数定义得到它的一个推论：

推论 若函数y=f(x)满足f(x+A)=1-f(x)1+f(x)，1+f(x)≠0，则它是一个以2A为周期的函数。

定理3 若函数y=f(x)满足f(x+A)=α+βf(x)α-βf(x)，α-βf(x)≠0，其中A，α，β为常数，αβ≠0，则

f(x+2A)=α(α+β)-β(α-β)f(x)α(α-β)-β(α+β)f(x)。

证明 ∵f(x+A)=α+βf(x)α-βf(x)，

（5）

∴f(x+2A)=α+βf(x+A)α-βf(x+A)。

（6）

由（5）式可知：

α+βf(x+A)=α(α+β)-β(α-β)f(x)α-βf(x)。

(7）

α-βf(x+A)=α(α-β)-β(α+β)f(x)α-βf(x)。

（8）

把（7）式和（8）式代入（6）式并整理得：

f(x+2A)=α(α+β)-β(α-β)f(x)α(α-β)-β(α+β)f(x)。

在定理3中，若α=β，则条件变为f(x+A)=1+f(x)1-f(x)，同时与之对应的结论变为f(x+2A)=-1f(x)，从而进一步推得f(x+4A)=-1f(x+2A)=f(x)。因此，根据周期函数定义得结论：

定理4 若函数y=f(x)满足f(x+A)=1+f(x)1-f(x)，1-f(x)≠0，则函数y=f(x)的周期T=4A。

3。结 语

函数的周期性是函数的一个重要特性，某些函数的周期性容易判定，而一些函数的周期判定困难。在正切函数y=tanx中，由于tanx+π4=1+tanx1-tanx，它满足定理4的条件，根据定理4可知正切函数y=tanx的一个周期T=π，当然也可根据正切函数的图像来判定。本文给出了一定条件下函数周期性的判定方法，特别是当我们不知道函数的解析式时，只要知道满足文中定理给出的条件，也能方便快捷地判定函数的周期性。

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