有界性定理的新证法有界性定理的新证法

张志国

【摘要】本文利用区间套和连续函数的局部有界性给出了闭区间上连续函数的有界性定理的一种全新的证明方法。

【关键词】闭区间列；区间套；局部有界性

1币 言

连续函数是数学分析中非常重要的一类函数。连续是讨论函数的导数、微分、中值定理、积分等的基础，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。

在很多数学教材和文献中，给出了有界性定理的证明方法。大体上归结为两类：一是应用有界覆盖定理，一是应用致密性定理。

本文通过区间套定理和局部有界性定理给出了有界性定理的新的证明方法。

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定义1 设闭区间列{［an,bn］}具有如下性质：

（1）［an,bn］剑踑n+1,bn+1］，n=1,2,…；

（2）limn→∞(bn-an)=0，

则称{［an,bn］}为闭区间套，或简称区间套。

定理1 （区间套定理）若{［an,bn］}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈［an,bn］，n=1,2,…，即an≤ξ≤bn,n=1,2,…。

推论 若ξ∈［an,bn］(n=1,2,…)是区间套{［an,bn］}所确定的点，则对任给的ξ>0，存在N>0，使得当n>N时有［an,bn］糢(ξ；ε)。

定理2 （局部有界性）若函数f(x)在点x0连续，则f(x)在某U(x0)内有界。

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有界性定理 若函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，则f(x)在［a,b］上有界。

证明 （用反证法）假设f(x)在［a,b］上无界。

将［a,b］等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间，使得f(x)在其上无界。记这个子区间为［a1,b1］，则［a1,b1］迹踑,b］，且b1-a1=12(b-a)。

再将［a1,b1］等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间，使得f(x)在其上无界。记这个子区间为［a2,b2］，则［a2,b2］迹踑1,b1］，且b2-a2=12(b1-a1)=122(b-a)。

重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列{［an,bn］}，它满足

［an,bn］剑踑n+1,bn+1］,n=1,2,…，bn-an=12n(b-a)→0(n→∞)。

即{［an,bn］}是区间套，且其中每一个闭区间都使得f(x)在其上无界。

由区间套定理，存在唯一的一点ξ∈［an,bn］，n=1,2,…，由定理1的推论可知，对于任意的ε>0，存在N>0，使得当n>N时有［an,bn］糢(ξ;ε)。

即f(x)在ξ的ε邻域U(ξ;ε)无界。这与连续函数的局部有界性定理矛盾。从而证得连续函数f(x)在［a,b］有界。

【参考文献】

［1］华东师范大学数学系。数学分析（第三版）。北京：高等教育出版社，2001。

［2］严子谦，尹景学，张然。数学分析。北京：高等教育出版社，2004。