导数在经济中的应用初析导数在经济中的应用初析

刘亚敏

目前，高等学校的课程改革正在全面深入推进，高等数学是高等学校的一门公共必修基础课，它的改革也变得越来越迫切，随着社会的进步与科学的发展，对高等数学课程的要求越来越高，赋予的内涵也越来越丰富。今日高等数学不仅要理论知识系统严谨，而且要有应用性，要结合所有的科技领域、社会的各个行业、人们的日常生活和工作，大量增加高等数学的应用篇幅，为学生继续学习后续专业课程奠定必要的数学基础，同时，也为提高学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力提供丰富的素材。下面，笔者仅就导数在经济分析中的应用略做一些探讨。

一、导数在边际分析中的应用

边际分析研究的是经济函数的绝对改变量与绝对变化率，它所分析的是一个经济变量改变一个单位时另一个经济变量改变多少。在经济分析中，描述一个经济变量y对于另一个经济变量x的变化通常要用到平均变化率和瞬时变化率这两个概念，平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，而瞬时变化率就是函数对自变量的导数，即当自变量增量趋于零时平均变化率的极限。如果函数y=f(x)在x0处可导，则在(x0，x0+Δx)内的平均变化率为ΔyΔx；在x=x0处的瞬时变化率为limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=f′(x0)，此式表示y关于x在“边际上”x0处的变化率。经济学中称达到x=x0前或后一个单位时y的变化为边际变化。实际上，“边际”就是导数在经济分析中的代名词。即经济函数y=f(x)对自变量x的一阶导数f′(x)称为f(x)的边际函数，记作My。边际函数My=f′(x)的经济意义：在自变量x水平上，当自变量改变一个单位时经济函数y=f(x)改变量的近似值。当然，随着经济变量x和y的具体含义的不同，边际函数经济意义的具体含义也有所不同。比如:设生产某产品q单位时所需要的总成本函数为C=C(q)，则称MC=C′(q)为边际成本。边际成本的经济含义是：当产量为q时，再生产一个单位产品所增加的总成本为C′(q)。

在经济分析中涉及的不仅有边际成本，还有边际收益、边际利润、边际需求，等等，它们在数学上都可以表达为各自总函数的导数。

例如:某企业对利润及产品的产量情况进行大量统计分析后，得出总利润L=L(x)（元）与每月产量x（吨）的关系为：L(x)=250x-5x2，试确定每月生产10吨，25吨，30吨的边际利润，并作出经济解释。

显然，边际利润L′(x)=250-10x，则L′（10）=150，L′（25）=0，L′（30）=-50，上述结果表明:当每月产量为10吨时再增加一吨，利润将增加150元；当每月产量为25吨时再增加一吨，利润不变；当每月产量为30吨时再增加一吨，利润将减少50元。这说明：对于一个企业来说，并非生产的产品数量越多，利润就越高。

因此，在经济工作中，边际分析尤为重要，对边际问题的正确分析，对于企业的决策者作出正确的决策起着十分重要的作用。

二、导数在弹性分析中的应用

边际分析所研究的是经济函数的绝对改变量与绝对变化率。在经济活动中，我们还需要研究经济函数的相对改变量与相对变化率——弹性分析。

在经济工作中，弹性分析所研究的是经济函数的相对改变量与相对变化率，它所分析的是一个经济变量变动百分之一会使另一个经济变量变动百分之几。它所反映的是一个经济变量对另一个相关经济变量变化的敏感程度。在经济分析中，弹性分析的应用也非常广泛，许多现实生活中的经济现象都要用弹性来解释和分析。通常有“弧弹性”和“点弹性”——弹性系数。

设函数y=f(x)可导，则称ΔyyΔxx，即因变量变动的百分比与自变量变动的百分比之比为“弧弹性”。而称EyEx=limΔx→0ΔyyΔxx=y′y?x为“点弹性”，即“点x处的弹性”。“点x处的弹性”的经济意义：在点x处，当自变量改变1%时，函数f(x)近似地改变EyEx%。它反映的是：自变量变化时函数变化的灵敏度。

在经济分析中通常有：需求价格弹性、供给弹性、收益弹性，等等。需求价格弹性，简称需求弹性，把握好需求价格弹性，对市场分析预测和定价策略具有重要的参考价值。

若需求函数：Q=Q(p)，则需求弹性：EQEp=Q′Q?p。

①若EQEp＞1，则该商品的需求为高弹性或富有弹性。此时，商品需求量的变化幅度大于价格的变化幅度。此时，适当降价，商品的需求量将有较大幅度的增加，从而总收入就会增加。

②若EQEp=1，则该商品的需求为单位弹性。此时，商品需求量的变化幅度等于价格的变化幅度。此时，无论降价还是涨价，对总收入基本没有影响。

③若EQEp＜1，则该商品的需求为低弹性或缺乏弹性。此时，商品需求量的变化幅度小于价格的变化幅度。此时，降价将使总收入减少。反之，适当涨价，需求量虽然减少，但减少的幅度小于涨价的幅度，总收入将会增加。

根据需求弹性的经济意义，当商品需求有较高弹性时，商品的需求量对价格变动的反应较为敏感，经营者如采用适当降价销售，能促进消费者消费，较大地增加销售量，薄利多销，可明显增加经济收益，当商品需求低弹性时，商品的需求量对价格变动的反应迟钝，经营者若适当提高商品的价格，销售量减少不大，经营者不会因销售量减少而影响总的经济收益。

随着信息化的到来，许多领域越来越多地应用高等数学知识，因此，高等数学课程也应与时俱进，也要信息化、应用化，增加应用案例的篇幅，这样，高等数学课程改革与建设的道路才会越走越宽。