三招破解《解直角三角形》应用题

洪三球

摘 要：能否高效解决解直角三角形应用题，是关系中考能否取得优秀成绩的重要一环.本文从构造三种数学模型这一角度入手，给考生们提供了几种便捷地解决这类问题的方法.

关键词：应用题 解直角三角形 数学模型

应用题在解直角三角形这一章中有着十分重要的地位，它使抽象的三角函数理论与实际生活紧密地联系在一起，较好地体现了数学来源于生活又应用于生活的特性，很好地贯彻了新课程标准关于理论联系实际的思想，是历年中考的必考题型.能否准确高效解决这类问题直接决定学生能否取得好成绩.

我在中考复习迎考中构造了三类数学模型，灵活运用这三类模型能够使学生便捷、正确地解决这一类问题。

一、构造一个直角三角形模型

这一类问题一般比较简单，关键在于构造出一个直角三角形，把相应的边和角都归纳进这个三角形，然后用适当的边角关系解决相应的问题.

例1（南通市中考题）：一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A处测得某灯塔位于它的北偏东30°的B处（如图1-1），上午9时行至C处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是 海里（结果保留根号）。

分析：因为灯塔在Ｃ的正北，可构造如图所示的直角三角形ＡＢＣ，又ＡＣ＝２０，∠ＢＡＣ＝６０°，所以由正切函数可计算出ＢＣ.

解：在Ｒt△ＡＢＣ中，

∵∠ＡＣＢ＝９０°，∠ＢＡＣ＝９０°－３０°＝６０°，

又∵ＡＣ＝２０×１＝２０，

∴tan60°=，BC=AC tan60°=20×=20.

例２（苏州市中考题）：苏州的虎丘塔塔身倾斜，却历经千年而不倒，被誉为“中国第一斜塔”（如图１-２）.ＢＣ是过塔底中心Ｂ的鉛垂线，ＡＣ是塔顶Ａ偏离ＢＣ的距离，椐测量，ＡＣ约为２．３４m，倾角约为２°４８′，求虎丘塔塔身ＡＢ的长度.（精确到０．１m）

分析：因为ＢＣ是铅垂线，所以与地面垂直，ＡＢ是斜线，要解决该问题，必须构造直角三角形，故过塔顶Ａ作ＢＣ垂线垂足为点Ｃ，放在Ｒt△ＡＣＢ中解决该问题．

解：在Ｒt△ＡＣＢ中，

∵∠ＡＣＢ＝９０°，∠ABC=２°４８′，又ＡＣ＝2.34

∴ tan２°４８′＝，

即ＡＢ＝ＡＣ•cot２°４８′=2.34 cot２°４８′=47.8m.

二、构造两个直角三角形模型

如图2-1，已知ＡＢ⊥ＣＤ，∠ＡＣＢ＝α，∠ＡＤＢ＝β（或者其他的两个角），ＣＤ＝d(或其他任一边的长度)，求ＡＢ及其他边的长度.

这类模型又分两种情况分别解决不同的问题．

第一种情况：点Ｃ，Ｄ在边ＡＢ的同侧（如图２-１），利用这两个直角三角形的边角，边边关系构造方程组解决诸如测量中的俯角，仰角，轮船在大海中航行中的方位角等问题．

例３（天津市中考题）：如图２-２，一艘货轮向正北方向航行，在点Ａ处测得灯塔Ｍ在北偏西３０°，货轮以每小时２０海里的速度航行，一小时后到达Ｂ处，测得灯塔Ｍ在北偏西４５°，问该货轮到达灯塔正东方向Ｄ处时，货轮与灯塔Ｍ距离是多少？（精确到０.１海里，≈１.７３２）

分析：因为Ｄ在Ｍ正东方向，ＡＢ是正北方向，所以ＭＤ⊥ＡＤ，即构造了两个直角三角形：Ｒt△ＡＤＭ和Ｒt△ＢＤＭ．在这两个直角三角形中利用边角关系构造方程组，即可解决问题．

解：不妨设ＭＤ＝x，ＤＢ＝y．

又∠ＭＡＤ＝３０°，

∠ＭＢＤ＝45°，AB＝２０×１＝２０，

在Ｒt△ＢＤＭ中，∵tan∠ＭＢＤ＝，

∴tan４５°＝①

在Ｒt△ＡＤＭ中，∵tan∠ＭＡＤ＝，

∴tan３０°＝②

解这个方程组得x=10(+1)≈２７.３，y=10(+1))≈２７.３.

所以该货轮到达灯塔正东方向Ｄ处时，货轮与灯塔Ｍ距离约为２７.３海里．

第二种情况：点Ｃ，Ｄ在边ＡＢ的异侧（如图3-１），利用这两个直角三角形的边角、边边关系构造方程组也能解决一系列问题.

例4（中考预测题）：如图3-2，平地上有一建筑物AB和铁塔CD相距60m，已知在建筑物顶部测得铁塔底部的俯角为30°，又测得塔顶的仰角为45°，求铁塔的高（精确到0.01米）.

分析：本题需构造直角三角形，可从点A引CD的垂线，垂足是点E，得到两个Ｒt三角形，在这两个三角形中利用边角关系构造方程组，即可解决问题.

解：作AE⊥CD，交CD于点E，不妨设CE=x，DE=y.又∠DAE=30°，∠CAE=45°.

在Rt△ADE中，∵tan∠DAE=

∴tan30°＝ ①

在Ｒt△ＡEC中，∵tan∠CAE＝

∴tan45°＝②

解这个方程组得x=60

y=20

∴DE=60+20≈94.64

答：铁塔的高度为94.64m.

例5（常州市中考题）：如图3-3，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时15千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进。甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇。

（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？

（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？

分析：因为乙船速度始终没有改变，本题应从乙船入手，若能求出AB的长度，则可求出乙船所用的时间，从而可求出甲船追赶上乙船用了多少时间.构造直角三角形，可过点A引CB的垂线，垂足是点E，得到两个直角三角形，利用边角关系可求出AB的长度.

解：过点A引CB的垂线，垂足是点E，又∠ACE=45°，∠EAB=60°.

在Rt△ACE中，∵sin∠ACE=，即sin45°＝

∴AE=AC.sin45°=•30•=30

又∵CE=AE

∴CE=AE=30

在Ｒt△ＡEB中，∵cos∠BAE＝

∴AB＝==60

又∵tan∠EAB=

∴EB=AE•tan∠EAB=30•tan60°=30

∴CB=CE+EB=30+30

从而，乙船所用时间：==4小时

甲船从C处追赶上乙船用时间是：4-2=2小时

甲船追赶乙船的速度是：CB=（30+30）=（15+15）千米/小时

三、作梯形的高，构造直角三角形模型

如图4-1，在梯形ABCD中过点A，D分别作梯形的高AE，DF可构造出两个三角形，利用坡度与正切函数的关系解决相应问题.

例6（中考预测题）：如图4-2，梯形ABCD是一堤坝的横截面示意图，坡角∠C=60°，AB的坡度=，坝的上底宽AD=10m，斜坡CD长为8m，求其截面面积.

分析：要求梯形截面面积需要求出下底BC与梯形的高，所以过A，D作梯形的高AE，DF，构造两个直角三角形：Rt△AEB和Rt△DFC.放在这两个三角形中解决问题。

解：过点A，D作AE⊥BC，DF⊥BC垂足分别为点E，F，可得EF=AD=10.

在Rt△DFC中，∵sin∠DCF=

∴DF=DC•sin∠DCF=8•sin60°=4

又∵∠CDF=30°

∴FC=DC=4

在Rt△ABE中，∵i==，又AE=DF=4

∴BE=2AE=2•4=8

∴S梯形ABCD=•DF

=•4=（48+48）

所以，该堤坝的截面面积为（48+48）m.

显然，在解答直角三角形应用题时，构造适当的数学模型能提高同学们分析问题、解决问题的能力，大大简化运算，广大教师在复习迎考中应注意到这一点.

参考文献：

［１］郭奕津.新教材完全解读.吉林人民出版社，2005.11.

［２］薛金星.中学教材全解.陕西人民教育出版社，2005.12.

［３］占春生.教材动态全解.东北师大出版社，2009.11.

［４］新课标初中拓展强化导学练.江苏人民出版社，2009.12.

［５］中学数学教学参考.陕西师大出版社，2010.9.