对高中数学填空题的研究

魏安龙

摘 要：本文主要是从四个方面对高中数学填空题进行研究：填空题的类型；填空题的编制原则；填空题的解法；填空题的检验方法.

关键词：高中数学填空题 类型 编制原则 解法 检验方法

数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的必考题型之一.以江苏数学高考为例，填空题占160分中的70分.为了做好填空题，我们既要注意基础知识技能方面的巩固，又要注意解题技巧.解填空题时，既要有合理的分析和判断，又要保证推理、运算的每一步骤都正确无误，还要把答案表达准确、完整.合理推理、简化思路、优化解法是快速、准确地解答填空题的基本策略.

一、填空题的类型

1.基本知识型填空题

例1.双曲线+=1的焦距与k无关，则k∈.（答案:（－2，0］）

2.计算型填空题

例2.（2011北京）在等比数列{a}中，a=，a=-4，则|a|+|a|+…+|a|=.（答案:2-）

3.分析型填空题

例3.（2006江苏）两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有个.（答案:无穷多）

4.推理型填空题

例4.若不等式ax-ax-1＜0对一切实数x恒成立，则a的取值范围是.（答案:（－4，0］）

5.构造型填空题

例5.函数y=的最小值是.（答案:）

6.图形图像型填空题

例6.（2011广东）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x+y=1}，B={（x，y）|x，y为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为.（答案:2）

7.综合型填空题

例7.（2011北京）曲线C是平面内与两个定点F（-1，0），F（1，0）的距离的积等于常数a（a＞1）的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△FPF的面积大于a.其中，所有正确结论的序号是.（答案：②③）

二、填空题的编制原则

1.基础性

因为填空题多数是安排在试卷大题的前面，从试题由易到难的规律及试题区分度的要求看，前面部分的试题不能非常难.多数填空题考查的知识点的综合程度不高.

2.简洁性

因为填空题的结果是填在横线上，所以其答案不能过与繁琐，数学不同于其他学科，简洁是数学的特点之一.

3.确定性

填空题的答案必须是确定的，模糊的问题不能作为填空题.

三、填空题的解法

1.直接法

这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果.

例1.已知f（x）=在（-2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是.

解：f（x）==a+，由复合函数的增减性可知，g（x）=在（-2，+∞）上为增函数，∴1-2a＜0，∴a＞.（另法f′（x）≥0恒成立）

2.特殊化法

如果一个结论在一般情形下成立，在特殊情形下必成立.当填空题的结论唯一或题设提供的信息暗示答案是一定值或结果是一不变的结果时，可将题中的一般情形特殊化（将图形、图形的位置特殊化或给字母赋予特殊值）再求解，这种解填空题的方法叫特殊化法.

例2.在△ABC中，若a，b，c成等差数列，则=.

解：令a=3，b=4，c=5，则△ABC是直角三角形，cosA=，cosC=0，从而所求值为.

例3.（2011江苏）.设1=a≤a≤…≤a，其中a，a，a，a成公比为q的等比数列，a，a，a成公差为1的等差数列，则q的最小值是.

解：由已知得1≤a≤q≤a+1≤q≤a+2≤q，取a=1为最小条件成立，q≥3.∴q=

3.数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题，若能根据试题的特点，找出其几何意义，画出符合题意的辅助图形，数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果.这是一种数形结合的解题策略，在填空题中有着广泛应用.

例4.已知m，n∈R，且m+2n=2，则m•2+n•2的最小值为 .

分析：本题有两个变量，可以先考虑消去一个成为一元函数，从而可以考虑数形结合.

解：考虑到m•2+n•2=m•2+2n•2，因为2n=2-m，所以只要考虑函数f（x）=x•2+（2-x）2，容易得到函数f（x）具有对称性，关于直线x=1对称.

因为f′（x）=（2-2）+［x•2-（2-x）•2］ln2，当x≥1时，f′（x）≥0.f（x）=f（1）=4.即m•2+n•2的最小值为4.

4.构造法

通过构造图形、构造代数式、构造方程、构造不等式等解填空题.

例5.设x，y，z是不全为零的实数，则的最大值为.

解:因为x+y+z=（x+y）+（y+z）≥（xy+2yz）

当且仅当x=y，y=z，y=x，z=2x取等号.所以最大值为.

5.等价转化法

通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果.

例6.不等式a+b+…+λb（a+b）对?坌a，b∈R都成立，则实数λ的取值范围是.

分析：容易看出，不等式的两边都是二次齐次式，因此考虑同时除以b.

解：当b=0时，λ∈R；

当b≠0时，不等式的两边同时除以b整理得（）-λ（）+（8-λ）+…+0，

关于的一元二次不等式恒成立，Δ≥0得到实数λ的取值范围是［-8，4］.

总之，填空题解法会很多，如果我们能够多角度思考问题，灵活选择方法，就一定能快速准确地解数学填空题.

四、填空题的检验方法

1.估算法

用估算法可以解比较难的填空题，也可以用来检验结果的正确性.

例1.一只蚂蚁在三边边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为.

错误答案1：，错误答案2：（如果凭直觉估计会感觉它们是错误的）.

2.特殊值法

把条件特殊化来检查结果是否正确，也可以在结果中取特殊值代入条件.

例2.若椭圆+=1的准线平行于向量（m，0），则实数m的取值范围是.

答案1：（，1）∪（1，+∞），答案2：.m＜（分别取特殊值m=2，m=0就能发现是错误的）.

3.代入验证法

把求出来的数字代入题目的字母，看有没有矛盾.

例3.定义在区间［2-2，2］上的函数f（x）=3-3是奇函数，则a=.

错误答案:1（把a=1代入验证就知道定义在区间不对称）.

当然检验的方法还有回头看草稿纸法，改变方法重做法，条件特殊法，排除法,等等.

参考文献：

［1］江苏教育考试院.2011高考（江苏卷）说明：语文、数学、英语.江苏教育出版社，2010.12.

［2］恩波.2011年全国高考真题汇编（数学）.学苑出版社，2011.6.

［3］王晓玲.浅谈高中数学选择填空题解法.教坛聚集，2010.23.

［4］李舒婧.高考数学填空题的特点及解题策略.中学生数理化（教与学.教研版），2010.08.