初中数学应用题研究

付东华

中考的应用题已经不再是单纯的数学知识与技能的应用，而是与现代社会的经济发展紧密地联系在一起，充分体现了数学知识在实际生活中的应用。它不仅能考核出学生掌握数学知识的水平，更能对学生的分析能力、计算能力、逻辑能力、开放思维能力，以及灵活运用数学知识去解决实际问题进行更深层次的检验。

一、方程与不等式的混合式组方面的应用题

例1：有一座车站，检票的时候，有m（m＞0）个人排队等着上车。假定：乘客依相同的速度增加，而检票员的查检速度相同。打开一个检票口，排队的人群要30分钟检票完毕；打开两个检票口，只要10分钟。请问，如果发生特殊情况，必须在5分钟内全部检完，至少应该同时打开几个检票口？

解：假如检票之后新出现的人为每分钟x人，而检票的速度为每一个检票口每分钟y人，那么，要想5分钟之内检完票，就要同时开n个检票口。我们由题目的意思可知：m+30x=30ym+10x=2×10ym+5x≤5ny，∴y=,x=，∴ m+≤n×，∵m＞0 ，∴n≥3.5 ，∵n为最小正整数， ∴n=4。即：至少要同时开放4个检票口。

这类方程与不等式的混合，充分体现了解方程的“消元”思想，考查了学生运用这方面知识的灵活程度。

二、函数中的应用题

这几年这类习题成为了中考的热点，各省市的试卷中出现了许多设计巧妙、反映时代气息的一种信息阅读理解方面的应用题，其中转化的数学思想成了这一类试题的灵魂 ，把具体问题抽象成函数模型，来实现解题。

例2：某单位投资500万元，想生产一个产品。然后，投资1 500万元大批量生产。假设每一个产品成本限定为40元。这时，相关人员调查得知：当价格为100元时，每年能卖20万件；价格每多10元，每年销量将减少1万件。假定售价为x（元），每年销量为y（万）件，年赢利为z（万元）。（1）试写出y与x之间函数关系式。（2）试写出z与x之间的函数关系式。（3）计算价格为160元的年赢利，同时说说要达到同样的年赢利，价格还可以设为多少？相应的年销量分别为多少？（4）设想，在第一年，按年赢利最大设定的价格销售；第二年，年赢利若不少于1 130万元，凭函数图像的大致说明，第二年的价格x（元），可限制在一个什么数值内？

解：（1）由题意得，当销售价为x 元时，年销售量减少（x-100）万件，∴y=20-（x-100）=-x+30，即y与x之间的函数关系式为y=-x+30。

（2）由题意知：z=(30-x)(x-40)-500-1 500=-x2+34x-3 200，即z与x之间函数关系式为z=-x2+34x-3 200。

（3）∵x=160时，z=-×1602+34×160-3200=-320,∵-320=-x2+34x-3 200， ∴x2-340x+28 800=0， ∴ x+16=340，∴x=180，即同样的年获利、销售单价还可以定为180元。当x=160时，y=-×160+30=14；当x=180时，y=-×180+30=12，即：相应的年销售量分别为14万件和12万件。

（4）∵z=-x2+34x-3 200=-(x-170)2-310， ∴当价格定为170元，赢利最大，同时，到第一年年底，若想收回所有投资，还差310万元。第二年，价格定为x元/件，则年赢利为z=(30-x)(x-40)-310=-x2+34x-1500。当z=1 130时，1130=-x2

+34x-1 510，∴x1=120 ，x2=220。函数z=-x2+34x-1 510，大致图像如图（图略）。∴120≤x≤220时，z≥1 130，∴第二年的销售单价应确定不低于120元且不高于220元范围内。

三、学科渗透方面的应用题

中考数学部分应用题还体现了其他学科的渗透，感受到数学的工具性、综合性、归纳性，展示了数学的应用价值。近年来，长春考了成语在概率中的应用、汉字的轴对称性，兰州考了烃类化合物的规律探索，济南考了琴弦的频率与长度关系等。

例3：物理中的匀速直线运动规律在中考习题中的运用。

（青岛中考）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm,BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运行，速度为1cm/s；点Q由A出发，沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连结PQ，若设运动的时间为t(s)(0＜t＜2)，解答下列问题。（1） 当t为何值时，PQ//BC？（2） 设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式？（3） 是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t值；若不存在，说明理由。

分析：（1）将P、Q两点的运动速度及时间转化成线段的长度，而当PQ//BC时△APQ～△ABC列出方程进而求出t值。（2）选择合适的底和相对应的高，AQ已知，故选择AQ边上的高，过PH⊥AC，利用△APH～△ABC求PH，再求面积。（3）存在性问题一般都是假设原命题成立，再结合题设建立关于t的方程进而求解。

解：（1）由题意得AP=5-t、AQ=2t，当PQ∥BC时，△APQ～△ABC ，∴=，∴=， ∴= ∴t=，即t=秒时PQ∥BC。

（2）（解略）y与t间的函数关系式为y=-t2+3t（0＜t＜2秒） 。

（3） 不存在这一时刻t满足条件，理由如下：若PQ把△ABC周长平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ，∴（5-t）+2t=t+3+（4-2t） ，∴t=1，若PQ把△ABC面积平分，则有S△APQ=S△ABC ，即-t2+3t=3。 当t=1时，左=-+3=，右=3，∴左≠右，即当t=1时 ， -t2+3t=3不成立。综上所述，不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分。

总之，中考中的应用题涉及范围越来越广，譬如统计方面、图案设计方面、概率方面的应用题,对学生各方面能力的要求呈逐步上升趋势，也是试卷失分较多的地方，值得我们关注。

（大庆市第六十一中学）