求解非线性方程的有效数值方法及其比较求解非线性方程的有效数值方法及其比较

江山

【摘要】本文介绍求解非线性方程的数值解法，即研究对分法、弦截法和牛顿法的迭代公式，通过相同误差限精度要求下求解同一个超越方程，比较三种数值方法的有效性和优劣性，进而给出各方法的优缺点和迭代收敛阶，最后介绍Matlab实现和求根函数，结合研究型教学实例展示达到更好的教学效果。

【关键词】非线性方程；对分法；弦截法；牛顿法；收敛阶

【中图分类号】O241。7【文献标识码】A

【基金项目】国家自然科学基金数学天元基金资助项目(11026113)，扬州大学科技创新培育基金(2011CXJ005)

非线性方程的数值解法是数值分析［1-6］中的一个重要内容，设f(x)是实系数多项式，经常需要解出超越方程f(x)=0的根。一般来说，方程的根即使存在往往也无法用公式表示，或者求出的根表达式十分复杂，在工程和科学计算中如非线性力学、非线性微积分方程、电路电力系统计算等众多领域，都要用到非线性方程求解。于是，研究非线性方程根的数值方法很有必要，直接从方程出发，逐步判断并缩小根的存在区间，或者把根的近似值精确化满足实际问题的需要，这些数值方法的有效性和优劣性值得研究和比较。

构造合理的迭代格式须满足压缩映像原理，保证封闭性和压缩性，李普希斯常数越小，迭代格式的收敛速度越快，收敛阶数越高［2,5］。下面通过研究对分法、弦截法和牛顿法的迭代格式，比较三种数值格式的有效性和优劣性，并给出各方法的总结。

例题 求解非线性方程x4+2x3-4x2+10x-20=0在区间［1,2］上的根，绝对误差限的精度要求为ε=10-5。

解法一 对分法：判定二分次数，mk=12(ak+bk)，

∵|mk-α|≤12k+1(b0-a0)≤10-5，

∴k≥log2b0-a0ε=16。列表计算得：