用递推法求某些行列式的值的几点体会用递推法求某些行列式的值的几点体会

贺建平

【摘要】用递推法求行列式的值。首先找到递推关系Dn=pDn-1+qDn-2，n>2，这里p,q为常数，然后根据具体情况求出行列式的值。

【关键词】行列式的值；递推法；递推关系

在线性代数求高阶行列式值的教学中，我们经常应用行列式的性质把高阶行列式的某行（或某列）变为只有一个非零元素，然后再按该行（或列）展开，多次运用这种方法可以把阶数高的行列式降为低阶行列式，直至三阶、二阶行列式，然后将行列式展开求出其值。有时此方法较为麻烦或不易解出，因此自己在教学过程中补充了递推法，学生得益匪浅。讲授了递推法以后，学生对课本中的一些习题就不会感到困难了。

由于学生在高中求数列的通项时，已经接触过递推法，因此，此方法对高职学生来说并不感到陌生，从本人的教学实践中观察，学生容易接受，兴趣浓厚，效果良好。

下面具体谈一下教学过程：

如果行列式以某一行（或列）展开时，它能够表示成和它同样形式，但阶数较低行列式的代数和，则称此结果为一个递推关系。

假设我们有一个递推关系：

Dn=pDn-1+qDn-2，n>2。……（1） 这里p,q为常数。

（一）若q=0，Dn=pDn-1=p2Dn-2=…=pn-1D1，则这里D1是位于行列式Dn左上角上一个元素。用上述方法通常可以求2n阶行列式的值。

例1 计算D2n=a0b0

鳘佴

ab

00

cd

侏鳓

c0d0

0……………0d。

解 按第1行展开，有

D2n=a?a0b0

鳘佴

ab

00

cd

侏鳓

c0d0

0……………0d

2(n-1)+b?（-1)1+2n0a0b

螵鳘

骯b

00

骳d

螵侏

0c0d

c0……………0

2(n-1)

=adD2(n-1)-bc(-1)2n-1+1D2(n-1)

=(ad-bc)D2(n-1)。

以此作递推公式，即可得

D2n=(ad-bc)D2(n-1)=(ad-bc)2D2(n-2)=…=(ad-bc)n-1D2=(ad-bc)n-1a b

c d=(ad-bc)n。

（二）若a≠0，令α，β是方程x2-px+q=0的两个根,则p=α+β，q=-αβ。把它们代入（1）可得：

Dn-βDn-1=α(Dn-1-βDn-2)。……（2）

或Dn-αDn-1=β(Dn-1-αDn-2)。……（3）

（ⅰ）若α≠β,反复利用（2）、（3）可推得：

Dn-βDn-1=αn-2(D2-βD1)或Dn-αDn-1=βn-2(D2-αD1)。

由上两式可得：

Dn=αn-1(D2-βD1)-βn-1(D2-D1)α?β或Dn=C1αn+C2βn。……（4）

其中C1=D2-βD1α(α-β),C2=D2-αD1-β(α-β)。

而（4）容易记忆，其中C1,C2可以由初始条件从（4）可以得到D1=C1α+C2β,D2=C1α2+C2β2。

用上述办法经常可以求三对角型行列式（即：主对角线及其上方和下方第一条对角线上元素非零而其余元素都为零的行列式称为三对角型行列式）的值。

分析 如果此三对角型行列式所含元素结构形式相同,就可用递推法来求值。即先将原行列式表示成两个低阶同型行列式的线性关系式,再用递推法及某些低阶行列式的值求出原行列式的值。

例2 求行列式之值:

Dn=750…0

275…0

027…0

……………

000…7。

解 在原行列式中，以第一行展开，在展开式中，第二个行列式再以第一列展开可得：Dn=7Dn-1-10Dn-1,

方程x2-7x+10=0的两个根为5，2。

由（4）式可得Dn=C15n+C22n。

在上式中令n=1，2可得D1=7=5C1+2C2,D2=7 5

2 7=39=25C1+4C2。解之得C1=53,C2=-23,Dn=5n+1-2n+13。

（ⅱ）若α=β,（2）、（3）可以变成

Dn-αDn-1=α(Dn-1-αDn-2)。

从而Dn-αDn-1=Aαn-2。……（5）

其中A=D2-αD1。以n-1代替n，可以得到

Dn-1-αDn-2=Aαn-3。

因此Dn-1=αDn-2+Aαn-3。

把上式代入（5），有：Dn=α2Dn-2+2Aαn-2,反复多次可得

Dn=αn-1D1+(n-1)Aαn-1或Dn=αn［(n-1)C1+C2］。……（6）

其中C1=Aα2，C2=D1α。(这里α≠0，因为q≠0）

例3 求行列式之值:

Dn=210…0

121…0

012…0

……………

000…2。

解 在原行列式中，以第一行展开，在展开式中，第二个行列式再以第一列展开可得Dn=2Dn-1-Dn-2，方程x2-2x+1=0的两个根x1=x2=1。

由（6）式得Dn=(n-1)C1+C2。

在上式中令n=1，2可得：

D1=2=C2，

D2=2 1

1 2=3=C1+C2。

解之得C1=1,C2=2,Dn=(n-1)×1+2=n+1。

综合以上讨论，我们有如下结论：如果已经找到了递推关系Dn=pDn-1+qDn-2，n>2,这里p,q为常数，那么，只要先解出方程x2-px+q=0的两个根α,β。

(ⅰ)若α≠β，则Dn=C1αn+C2βn。

(ⅱ)若α=β，则Dn=αn［(n-1)C1+C2］。

其中C1,C2由初始条件可以得到。

总之，通过以上的讨论，对于行列式中能够找到递推关系的Dn=pDn-1+qDn-2,n>2,这里p,q为常数，若q=0，则Dn=pDn-1=p2Dn-2=…=pn-1D1；若q≠0，令α，β是方程x2-px+q=0的两个根。

(ⅰ)若α≠β，则Dn=C1αn+C2βn。

(ⅱ)若α=β，则Dn=αn［(n-1)C1+C2］。

其中C1,C2由初始条件可以得到。利用上面的方法就可以迎刃而解。

总述：由以上讨论和具体应用可以看出,递推法在行列式求值问题中发挥着巨大的作用,其中著名的Vandermonde行列式也可用递推法归纳总结,所以我们应该掌握这种方法,既可以扩展解题思路,同时可以提高我们的抽象思维能力。

【参考文献】

［1］张永曙。考研数学应试强化辅导与题解指南。西安：西北工业大学出版社,1997。

［2］赵树嫄。线性代数典型题解析及自测试题。西北工业大学出版社,2000。

［3］同济大学数学教研室编。工程数学线性代数。北京：高等教育出版社。