谈数学解题中的构造法

陈东磊

摘要： 数学方法是对数学知识在更高层次上的抽象和概括.构造法是以已知条件为原料，以所求答案为方向，构造出一种人们更为熟悉的数学形式，把原本“山重水复疑无路”的局面变成“柳暗花明又一村”的景象，使得问题在新的形式下得到快捷的解决——用他山之石予以攻玉.构造法的目的是为了化繁为简、化未知为已知、化不熟悉为熟悉.这也是解答数学问题的共性之所在.通过巧妙地使用构造法解答数学问题，能够激发学生的发散思维，对培养学生的多元化思维和创新精神大有裨益.

关键词： 构造法构造方程构造函数构造数列数学模型

“构造法”指的是为解决数学问题时要先构造一种数学形式（比如几何图形、代数式、方程，等等），以此来寻求问题中的某种内在联系，使问题变得简单明了，从而起到了化简、转化和桥梁的作用，进而找到解决问题的思路、方法.历史上不少数学家，如柯西、欧几里得、欧拉、费马、拉格朗日等人，都曾经用构造法成功地解决过数学上的难题.运用构造法解题是培养创造性思维能力的一种有效方法.下面我简单地举例分析构造法在数学解题中的应用.

一、“构造法”在构造方程中的运用

例1：已知=1（a，b，c∈R），给出下列关于a、b、c的关系式：①b＞4ac；②b≥4ac；③b＜4ac；④b≤4ac.其中正确的是?摇?摇?摇?摇?摇?摇.

分析过程：将已知的关系式整理为：a·（）-b·+c=0，这是一个根为的一元二次方程ax-bx+c=0，于是△=b-4ac≥0，故正确的是②.

总结：构造方程是解数学问题的常用方法，根据数量关系，如例1中关注到7=（），从而联想构造一元二次方程，这样就在已知与待求之间搭上了桥梁，使解答更简洁、合理.

二、构造法在构造函数中的运用

解答证明柯西不等式时，构造一个二次函数首先有2n个数b，b，b，…，b和a，a，a，…，a，构造函数：当n=1时，f（x）=ax+2abx+b；当n=2时，f（x）=ax+2abx+b，由此类推n个相加得到f（x）=（a+a+…+a）x+2（ab+ab+…+ab）x+（b+b+…+b）.因为f（x）≥0恒成立，所以f（x）的判别式△≤0，即（ab+ab+…+anb）≤（a+a+…+a）（b+b+…+b），柯西不等式证明完毕.

数学构造法在高中是很常见的，构造函数常用来证明不等式.

三、“构造法”在求数列通项中的应用

例：若数列{a}中，a=3且a=a（n是正整数），则它的通项公式是a=?摇?摇?摇?摇.

解：由题意知a＞0，将a=a两边取对数得lg a=2lg a，即=2，所以数列{lg a}是以lg a=lg 3为首项，公比为2的等比数列，lg a=lg a·2=lg 3，即a=3.

求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为常见的等差数列或等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些非等比等差数列要通过构造才形成等差数列或等比数列，之后再应用相应的通项公式求解，进而求出原数列通项公式.

四、构造代数式在计算中的妙用

小学奥数竞赛中有一种速算.其中对一些特殊数字的计算，符合“同头尾凑十”的两位数乘法，要求快速给出答案.比如33×37=1221，42×48=2016等.这个积的前两位是原两位数的十位数字与比这个十位数字大1的数的积，后两位是原两位数两个个位数字的积.小学生会对这样的“神算”感到惊奇，无法理解其中的道理.其实，到了初中，利用构造代数式，进行变形化简，可以很容易地解释其中的道理.

假设其中一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，则这两个两位数分别为“10a+b”和“10a+（10-b）”；两数的积为（10a+b）（10a-b+10）=100a-b+100a+10b=100a（a+1）+b（10-b）.得证.

以上是以代数式的变形来帮助学生解释一些疑问.

五、构造几何图形

对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，通过构造适当构造出几何图形让两者联系起来，从而把代数问题转化为几何问题来解决，增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍.

例4：已知|x-1|+|x-5|=4，则x的取值范围是（?摇?摇?摇?摇）

A.1≤x≤5?摇?摇?摇?摇B.x≤1?摇?摇?摇?摇C.1＜x＜5?摇?摇?摇?摇D.x≥5

分析：根据绝对值的几何意义可知：|x-1|+|x-5|=4表示数轴上到1与5的距离之和等于4的所有点所表示的数.如图3，只要表示数的点落在1和5之间（包括1和5），那么它到1与5的距离之和都等于4，所以1≤x≤5，故选A.

综上所述，构造法是一种富有创造性的解题方法，它很好地体现了转化与化归的数学思想，渗透着猜想、试验、归纳等数学方法.构造法除了要注重基础知识和基本思想的落实，还要求我们敢于打破常规，注重知识前后之间的联系与迁移、新旧知识之间的类比与转化.

构造法在数学问题的解决中，不仅显得灵活、简便，而且往往是发现问题，找到解决问题途径、方法的钥匙.在平时教学中，学生在掌握基础知识之余，应加强启发式的教学.我们可从多角度启发学生思维多变，从而培养学生的发散思维和创新能力.

参考文献：

［1］姜海荣.例谈高中数学中常见的构造法［J］.高中数学教与学，2011，（01）.

［2］彭培年.浅谈构造法在数学竞赛中的应用［J］.科技信息（科学教研），2007，（31）.

［3］张大春.浅谈构造法在中学数学解题中的应用［J］.数学学习与研究，2010，（17）.

［4］韦莉.例谈构造法解题［J］.上海中学数学，2008，（03）.