三角尺的“大作为”

王恒昌

【摘要】 三角尺是数学教师进行教学和学生进行数学学习所使用的极为普通的教具、学具，然而就是这看似不起眼的教具、学具，却在数学学习中有“大作为”.本文结合具体的实例，从五个方面对三角尺在教学中的作用进行了阐述，从一个侧面展现了广大数学教师的实践经验和教育智慧.

【关键词】 三角尺；大作为

一副平平常常的三角尺却能在几何教学中生辉，这是广大数学教师的实践经验和教育智慧. 细心观察不难发现，数学课堂中、数学试卷上以及数学课本、教辅资料都有三角尺的踪影，真可谓妙趣横生.

一、增强了教学的趣味性

教学中，如果教师用学生习以为常的三角尺“创造”出许多精巧的试题或问题，学生会有“老树开新花”的感觉，会大大增强学生的探究欲望，提高学习兴趣.

例1 将一直角三角尺与直尺如图1所示放置，下列结论：（1）∠1 = ∠2；（2）∠3 = ∠4；（3）∠2 + ∠4 = 90°；（4）∠4 + ∠5 = 180°.其中正确的个数是（ ）.

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

这道题目中，把直角三角尺的两条直角边作为两条平行线（直尺的对边）的截线，巧妙地将平行线的三条性质全部运用其中，创设了一个很好的问题情景.同时，直角三角尺本身所具有的“直角”这一条件在此题中也发挥了一定的作用.

例2 一次数学活动课上，小华将一副三角尺按不同的方式叠放，编制出了4道有关角度计算的问题，同学们兴趣盎然.你能分别计算出下列各图中∠α的度数吗？

这道题目，通过一副三角尺构造了四个几何图形，可以利用三角尺角度的特殊性，考查学生运用三角形的内角和定理及外角性质的能力.值得说明的是，用一副三角尺还可以构造许多的几何图形，设计很多的数学问题，为学生开展兴趣活动提供丰富的、有趣的素材，使得学生能够顺其自然地投入到研究性学习之中，产生数学思考，并在研究和探索的过程中培养他们的动手操作能力，提高他们发现问题、分析问题和解决问题的能力.

二、凸显了学具的功能性

教学时，教师要引导学生开发三角尺的功能，发挥这个学具在几何学习中的重要作用.在几何作图中，通过动手操作，不仅可以培养他们的动手能力，还可以引导他们生成新知识，发现数学规律.

如在初学角的概念时，可让学生用一副三角尺画大于0°且小于180°的不同的角，比一比看谁画的最多，学生积极性会很高，并最终通过动手操作和思考，找到一般性的规律： 最小的角为15°，若按从小到大的顺序排列将依次大15°，这样共可以画出11个符合条件的角.

再如，在学习平行线判定时，首先要让学生了解用三角尺画平行线的操作要领，掌握画法，进而引导学生得出平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行.

随着学习的不断深入，还可以引导学生利用三角尺画出一些特殊的三角形和多边形，如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形等.同时，要引导学生在作图中进行理性思维，明白作图方法中所蕴涵的数学知识.

三、加强了教学的直观性

教学时，运用三角尺在黑板上演示图形变换的过程，可以使教学更加直观、形象和生动，也有利于学生形成运动变化的观点，并在操作过程中发现数学问题，积极进行思考和探索，最终找到解决问题的途径和办法.

例3 如图4，有一把直尺AB和一个直角三角尺如图摆放，直角顶点C在AB上，∠E = 30°，∠DCA = ∠ECB，然后将三角尺绕顶点C顺时针旋转，那么至少旋转 °，可以使DE∥AB.

例4 如图5，将一个含有30°角的直角三角尺AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A1OB1.若点A的纵坐标为1，则点A1的坐标为 .

四、体现试题的简约性

由于一副三角尺均是特殊的三角形，其所包含的特殊角、边以及边角之间的特定关系，这些都为试题增加了隐含条件，从而可以简化试题内容，使得试题更加简约.如下两道例题就是最好的例证.

例5 如图6，两个含30°角的相同直角三角尺按图中位置摆放，使两条相等的直角边AC，C1A1共线.

（1）图中有多少对全等的三角形？请将它们写出来；

（2）选择其中的一对全等的三角形进行说明.（△ABC ≌ △A1B1C1除外）

例6 （1）把两个含有45°角的大小不同的直角三角尺如图7放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F. 试说明：AF⊥BE.

（2）把两个含有30°角的大小不同的直角三角尺如图8放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F. 问：AF与BE是否垂直？并说明理由.

五、提升问题的综合性

由于借助三角尺进行图形的平移、旋转等变换，可以构造出不同类型的几何图形，加之三角尺自身所隐含的条件，无形当中会增加思维的难度，使得试题更具综合性，这有利于培养学生的识图能力、空间想象力和思维能力.

例7刘卫同学在一次课外活动中，使用了如图9，10所示的三角尺. 其中图 9 是含有30°角的直角三角尺，BC = 6 厘米， 图 ② 是含有45°角的的直角三角尺，DE = 4厘米.图11 是刘卫同学所做的一个实验：他将三角尺DEF的直角边DE与三角尺ABC的斜边AC重合在一起，并将三角尺DEF沿AC方向移动.在移动过程中，D，E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）.

（1）在三角尺DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F，C两点间的距离逐渐_________.（填“不变”、“变大”或“变小”）

（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：

问题①：当三角尺DEF移动至什么位置，即AD长为多少时，F，C的连线与AB平行？

问题②：当三角尺DEF移动至什么位置，即AD长为多少时，以线段AD，FC，BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？

问题③：在三角尺DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD = 15°？如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由.

请你分别完成上述三个问题的解答过程.

此题是一道操作类问题，综合了图形的变换、相似三角形、直角三角形及方程等数学知识，并且涉及了分类讨论、转化等数学思想方法，是一道难得的好题.研究这道题目时，要引导学生运用运动变化的观点，牢牢抓住“图形变化中的不变性”这个关键.