小议“二次根式中字母的取值范围”

王俊

二次根式的学习是在平方根、算术平方根知识的基础上建立的，所以从二次根式的定义、性质到二次根式的每一条计算法则和化简法则，字母都有相应的取值范围，以保证二次根式有意义和计算、化简的顺利进行，现罗列如下：

二次根式的定义：一般地，式子a（a≥0）叫做二次根式.

二次根式的性质：当a≥0时，a≥0（二次根式的双重非负性）.

二次根式的计算或化简法则：

1.当a≥0时，（a）2=a.

2.a2=|a|=a（a≥0）.

-a（a<0）.

3.二次根式的乘法法则：a·b=ab（a≥0，b≥0）.

逆之得积的算术平方根的化简法则：ab=a·b（a≥0，b≥0）.

4.二次根式的除法法则：a[]b=a[]b（a≥0，b>0）.

逆之得商的算术平方根的化简法则：a[]b=a[]b（a≥0，b>0）.

笔者发现，二次根式中字母的取值范围是一个重要的知识点，有时是解决问题的关键，有时也是学生解题时比较容易出错的地方，需要引起足够的重视.现举例如下：

一、确定字母的取值范围

例1 能使-（x-5）2有意义的实数x的值有（）.

A.0个B.1个

C.2个D.无数个

解析 由题意得-（x-5）2≥0，所以（x-5）2≤0，则x=5，选择B.

点评 根据二次根式的定义得：当二次根式的被开方数为非负数时，二次根式有意义.很多时候这个知识点经常还与其他知识综合考查.

例2 要使式子a+2[]a有意义，a的取值范围是.

解析 由题意得a+2≥0，

a≠0，可得a的取值范围是a≥-2且a≠0.

点评 此题将二次根式有意义与分式有意义综合在一起考查，需要对每个知识点的准确把握，学生经常顾此失彼，或混淆知识从而出错.

例3 如果（2m-1）2=1-2m，则（）.

A.m<1[]2B.m≤1[]2

C.m>1[]2D.m≥1[]2

解析 由题意得2m-1≤0，m≤1[]2，选择B.

点评 根据上述第2条化简法则，对比得到此题化简实质为：a2=-a，进而推出a≤0解决问题，许多学生解题时经常会漏考虑a=0的情况从而出错.

例4 式子3-x[]x-1=3-x[]x-1成立的条件是（）.

A.x≥3B.x≤1

C.1≤x≤3D.1

解析 由题意得3-x≥0，x-1>0，

解得1

点评 本题根据上述第4条化简法则a[]b=a[]b（a≥0，b>0）进行解答，若忽略对分母的考虑，和第3条化简法则混淆，认为a≥0，b≥0就会出错，所以极易混淆的知识点要多比较，以提高辨别能力.

二、准确抓住字母的取值范围解决问题

1.已知字母取值范围

例5 实数a在数轴上的位置如图所示，则（a-4）2+ぃ╝-11）2化简后为（）.

A.7B.-7

C.2a-15D.无法确定

解析 由题意得50，a-11<0，化简得：

原式=|a-4|+|a-11|=（a-4）+（11-a）=7，故选择A.

点评 本题由实数a在数轴上的位置确定a的取值范围，从而顺利解决化简问题，此题字母a的取值范围是化简得以正确进行的关键.

2.挖掘隐含的字母取值范围

例6 已知y=2x-5+5-2x-3，则2xy的值为（）.

A.-15B.15

C.-15[]2D.15[]2

解析 此题中2x-5，5-2x是两个二次根式，应先考虑它们有意义，得2x-5≥0，

5-2x≥0，从而得出x=5[]2，代入原式得出y=-3，所以2xy=-15，选择A.

点评 此题所涉及的两个二次根式的被开方数互为相反数，它们要同时大于或等于0，只有每一个被开方数都等于0，从而得出x，y的值解决问题.

例7 已知x，y为实数，且满足1+x-（y-1）1-y=0，那么x2011-y2001=.

解析 仔细观察题目发现：1-y前的系数-（y-1）=1-y，所以应先考虑1-y是有意义，得1-y≥0，从而将原式转化成1+x+（1-y）1-y=0，又因为1+x≥0，（1-y）1-y≥0，所以1+x=0，

（1-y）1-y=0，

从而解得x=-1，

y=1，故x2011-y2011=-2.

点评 本题关键是发现条件中第二项的系数与二次根式中的被开方数相同，利用二次根式所隐含的取值范围得出第二项整体是一个非负数，再根据“若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0”顺利解决问题.

例8 已知a=2-3，化简求值：1-2a+a2[]a-1-a2-2a+1[]a2-a-1[]a.

解析 原式=（a-1）2[]a-1-（a-1）2[]a（a-1）-1[]a

=（a-1）2[]a-1-|a-1|[]a（a-1）-1[]a.

∵a=2-3<1，

∴原式=（a-1）2[]a-1-（1-a）[]a（a-1）-1[]a=a-1+1[]a-1[]a=a-1=2-3-1=1-3.

点评 此题关键是抓住a=2-3<1，将（a-1）2化简为1-a，否则将会非常容易出错.

3.没有字母取值范围时需分类讨论

例9 已知xy=3，那么xy[]x+yx[]y的值.

解析 因为xy=3且y[]x≥0，x[]y≥0，所以x>0，y>0和x<0，y<0都符合题意.需分两种情况讨论，现提供两种不同解法：

解法一 直接化简

①若x>0，y>0，原式=xxy[]x2+yxy[]y2=x·xy[]x+y·xy[]y=2xy=23.

②若x<0，y<0，原式=xxy[]x2+yxy[]y2=x·xy[]-x+y·xy[]-y=-2xy=-23.

解法二 先平方，再开方.

xy[]x+yx[]y2=xy[]x2+2·xy[]x·yx[]y+yx[]y2=xy+2xy+xy=4xy=12.

①若x>0，y>0，则xy[]x+yx[]y>0，原式=23.

②若x<0，y<0，则xy[]x+yx[]y<0，原式=-23.

所以应填：±23.

点评 此题条件只告诉我们x，y同号，所以必须分两种情况讨论，学生往往只注意第一种情况，从而漏解，所以解题时思维要缜密谨慎.

综上所述，二次根式的有关问题解决中，必须要注意每一条法则所含的字母取值范围，只有正确并熟练地运用这些条件才能确保解题的正确性.教学时教师应立足基本知识点，善于将题目归类，总结解题方法，让学生熟悉各种题型的解题技巧，同时还要引导学生对错题进行反思和总结，提高解题能力.