分段函数，一个不容忽视的函数

周艳丽

在实际生活和工作中，我们所遇到的实际问题对应的建模函数都不是一些常见函数，而是分段函数.分段函数不仅在生活和工作中有着举足轻重的作用，在高考中为了用一个函数来考查多个函数的性质，也只能借用分段函数这个载体来实现.所以分段函数是高考中的宠儿，为了进一步认清它、了解它、解决它，本文特将分段函数的一些常见的题型及解法整理一下，仅供大家参考.

1.求分段函数的值

例1 设函数f（x）=x2+1，x≤1，2x，x>1，求f（f（3））.（2012江西高考文3）

分段函数的求值题是最常见的题型，每一年的高考题都会涉及，而这类问题的处理方法就是分段处理，把要求的值代到给定的范围内即可.先代入x=3，求出f（3）=23，再求f23=139.

说明 与分段函数有关的求值与不等式问题，都是分段函数分段处理，分段处理完以后，再综合起来即可.

2.求分段函数的最值

例2 设函数gx=x2-2x∈R，fx=gx+x+4，x

方法1 先求每个分段区间上的值域，再比较得之.解x0，则x<-1或x>2.因此x≥gx=x2-2的解为-1≤x≤2.于是fx=x2+x+2， x<-1或x>2，x2-x-2， -1≤x≤2.

当-1≤x≤2时，x2-x-2=x-122-94，则fx≥-94，

又当x=-1和x=2时，x2-x-2=0，

所以-94≤fx≤0.

综上可得fx>2或-94≤fx≤0，因此fx的值域是-94，0∪2，+∞.

方法2 利用函数的单调性.由函数的解析式得知函数在区间-∞，-1是减函数，在区间（2，+∞）是增函数，只能得到f（x）>2，再由函数在区间-1，-12是减函数，在-12，2是增函数，所以最小值是f-12，最大值是f（-1），f（2）中的一个.因此fx的值域是-94，0∪2，+∞.

方法3 利用函数的图像，数形结合.可根据分段函数的解析式，画出函数的图像，其值域一目了然.数形结合是解决分段函数的一个非常有效的方法.

说明 分段函数的最值的求法，通常用以上三种方法.

3.分段函数中的求参问题

例3 已知函数f（x）=2x，x≥2，ぃ▁-1）3，x<2，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是.（2011北京高考理13）

这个例题用的是函数与方程的思想，需要求出分段函数的值域，求值域的方法可以用上面的三种方法.f（x）=2x（x≥2）单调递减且值域为（0，1]，f（x）=（x-1）3（x<2）单调递增且值域为（-∞，1），f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0，1）.

说明 分段函数的求参问题可以化为求值域或解不等式问题.

4.求分段函数的解析式

例4 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为f（x）=c[]x，x

c[]A，x≥A，

（A，c为常数）.已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，求c和A的值.（2011北京高考理6）

解 由条件可知，x≥A时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即f（4）=c[]4=30輈=60，f（A）=60A=15軦=16.

5.综合应用

例5 已知两条直线l1：y=m和l2：y=82m+1（m>0），l1与函数y=log2x的图像从左至右相交于点A，B，l2与函数y=log2x的图像从左至右相交于C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，求ba的最小值.（2012湖南高考8）

解 在同一坐标系中作出y=m，y=82m+1（m>0），y=log2x的图像如下图，由log2x=m，得x1=2-m，x2=2琺，log2x=82m+1，得

a=2-m-2-82m+1，b=2琺-282m+1，ba=2琺-282m+12-m-2-82m+1=2琺282m+1=2琺+82m+1.

∵m+82m+1=m+12+4m+12-12≥4-12=312，∴ba璵in=82.

分段函数中还有一些常见的题型，比如求分段函数的单调区间，还有一些分段函数与不等式结合的问题等等.希望本文能给大家带来一点点的启示.