圆锥曲线切线的几个有趣性质

圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，又是高中数学的重点和难点，因而成为历年高考必不可少的考查对象.圆锥曲线的主要内容之一是其切线问题，学生往往在求解和证明圆锥曲线问题时感到力不从心，甚至产生厌学情绪，为了帮助学生摆脱这种困境，培养学生对数学的兴趣，对圆锥曲线的切线问题有深刻认识，拓宽解题思路，本文通过采用添加辅助线的方法，得到了以下5个有趣的性质，以供参考.

性质1 设F为圆锥曲线（离心率为e）的一个焦点，

其相应的准线为l.一直线交圆锥曲线于M，N，交l于P，则FP平分∠MFN的外角.

图 1

证明 如图1，过M，N作准线l的垂线，垂足分别是K，Q.

由圆锥曲线的定义有

|MF|[]|MK|=|NF|[]|NQ|=e，

∴|MF|[]|NF|=|MK|[]|NQ|.（1）

又由MK⊥l，NQ⊥l知|MK|[]|NQ|=|MP|[]|NP|.（2）

由（1）（2）有

|MF|[]|NF|=|MP|[]|NP|.

由三角形外角平分线定理的逆定理知FP平分∠MFN的外角.

性质2 设F为圆锥曲线的一个焦点，其相应准线为l，

过圆锥曲线上一点M的切线交准线l于P，则PF⊥MF.

证明 如图2，延长MF交圆锥曲线于M1.在性质1中，

当N与M重合时，直线PNM成为与圆锥曲线相切于点M的切线PM，∠NFM1成为平角∠MFM1.由性质1知FP平分∠NFM1，即FP平分∠MFM1，故PF⊥MF.

图 2

性质3 设F1，F2是椭圆（离心率为e）的两个焦点，

点M是椭圆上异于长轴两端点的任一点，则在椭圆上的点M处的切线和法线分别平分∠F1MF2及它的外角.

图 3

证明 过M的切线交准线l于点P，法线交长轴于N.

如图3，设点D，E分别在射线F1M，NM上，连接PF2.

由性质2知∠MF2P=90°，作MM′⊥l，垂足为M′，连接F2M′，知点M，M′，P，F2四点共圆，MP是直径.由MN⊥MP知MN是这个圆的切线，从而

∠NMF2=∠MM′F2，∠MF2N=∠F2MM′.

∴△MF2N∽△M′MF2.

∴NF2[]MF2=MF2[]MM′=e.（1）

同理NF1[]MF1=e.（2）

由（1）（2）知NF2[]MF2=NF1[]MF1，即NF1[]NF2=MF1[]MF2.

由三角形内角平分线定理知MN平分∠F1MF2，即∠F1MN=∠F2MN.

由法线定义知∠EMD+∠PMD=∠PMF2+∠F2MN=90°.

又 ∵∠EMD=∠F1MN=∠F2MN，

∴∠PMD=∠PMF2.

故MP平分∠F1MF2的外角∠F2MD.

性质4 设F1，F2是椭圆的两个焦点，A1，A2是长轴两

端点，

过椭圆上异于A1，A2的任一点M作椭圆的切线，过F1，F2作切线

的垂线，垂足分别是B，C，则B，C在以A1A2为直径的圆上.

图 4

证明 如图4，设椭圆的中心为O，直线F1M与直线F2C相交

于D，连接OC，OB.由性质3知MC平分∠F2MF1的外角∠F2MD.

∵MC⊥F2D，∴C是F2D的中点，且有MD=MF2，从而有

OC=1[]2F1D=1[]2（F1M+MD）=1[]2（F1M+MF2）=1[]2A1A2.

∴点C在以A1A2为直径的圆上，同理点B也在以A1A2为直径的圆上.

性质5 P为椭圆外一点，PA，PB是椭圆的两切线，

A，B为切点，F1，F2为椭圆的两焦点，则PF1，PF2分别平分∠AF1B，∠AF2B.

图 5

证明 如图5，过F1，F2分别作PA，PB的垂线，交直线F2A，F1B的延长线于点F′1，F′2，交直线PA，PB延长线于C，D，连接PF1，PF2，PF′1，PF′2.

由性质3知∠F1AC=∠F′1AC，又PC⊥F1F′1，

∴AF1=AF′1，PF1=PF′1.

∴△PF1A≌△PF′1A.

∴∠PF1A=∠PF′1A.（1）

∴F2F′1=AF′1+AF2=AF1+AF2=2a.

同理F1F′2=BF1+BF′2=BF1+BF2=2a，

PF2=PF′2.

∴△PF1F′2≌△PF′1F2.

∴∠AF′1F2=∠PF1B.（2）

由（1）（2）知∠PF1A=∠PF1B，故PF1平分∠AF1B，

同理可证PF2平分∠AF2B.