对一道高考题的解法探究

陈学进

原题 （江苏省2010年高考数学14题）将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=（梯形的周长）2[]梯形的面积，则S的最小值是.

分析 如图，正三角形ABC的边长为1，平行于底边的直线DE将三角形分成正三角形ADE和等腰梯形DECB两个部分.

设AD=x，则

S=（梯形的周长）2[]梯形的面积=4[]3·（3-x）2[]（1-x2），（0

因此，要求S的最小值，关键是求函数y=（3-x）2[]1-x2，（0

思路一 利用求函数值域的基本方法.

解法1 y=（3-x）2[]1-x2，去分母整理得（y+1）x2-6x+9-y=0，关于x的方程有解.

所以，Δ=（-6）2-4（y+1）（9-y）≥0，y2-8y≥0.

所以，y≥8或y≤0（舍去），即y=（3-x）2[]1-x2的最小值为8，此时x=1[]3.

解法2 令3-x=t，t∈（2，3），换元，x=3-t.

y=t2[]1-（3-t）2=t2[]-8+6t-t2=1[]-8[]t2+6[]t-1，当1[]t=8，即x=1[]3时，y取最小值8.

解法3 求导数y′=-2（3-x）（1-x2）+2x（3-x）2[]（1-x2）2=3（3-x）（3x-1）[]（1-x2）2.

令y′=0，则x=1[]3，且当x∈0，1[]3时，y′<0，当x∈1[]3，1时，y′>0，所以，当x=1[]3时，y取得最小值8.

思路二 从基本不等式求最值出发.

解法4 y=（3-x）2[]1-x2=x2-6x+9[]1-x2=（x2-1）-6x+10[]1-x2=-1-2（3x-5）[]1-x2.

设5-3x=t，则t∈（2，5），x=5-t[]3，于是y=-1+18t[]-16+10t-t2，

y=-1+18t[]t2-10t+16=-1+18[]10-t+16[]t，从而当t=4，即x=1[]3时，y取最小值8.

解法5 y=（3-x）2[]1-x2=3-x[]1+x·3-x[]1-x=-1+4[]1+x·1+2[]1-x.

令a=1[]1+x，b=1[]1-x，由条件知a，b∈R+，且1[]a+1[]b=2，2ab=a+b.

y=（-1+4a）（2b+1）=2b+8a-1=（b+4a）·1[]a+1[]b-1=b[]a+4a[]b+4≥8，

当且仅当b[]a=2，x=1[]3时，y取得最小值8.

解法6 y=（3-x）2[]1-x2=3-x[]1+x·3-x[]1-x.令a=3-x[]1+x，b=3-x[]1-x，则2[]a+1[]b=1，

于是1≥22[]ab，ab≥8，即y=ab的最小值为8，此时2[]a=1[]b=1，x=1[]3.

解法7 y=（3-x）2[]1-x2=（3-x）2[]（1-x）（1+x）.令a=1+x，

b=1-x， x=a-b[]2，

于是y=3-a-b[]22[]ab=a2+4b2+4ab[]ab≥4ab+4ab[]ab=8，当且仅当a=2b，即

x=1[]3时，取得该最小值.

思路三 变换特征三角转换.

要求函数y=（3-x）2[]1-x2，（0

解法8 y=3-x[]1-x2=3-sinα[]cosα，去分母得ycosα=3-sinα，sinα+ycosα=3，

y2+1sin（α+θ）=3，于是有3[]y2+1≤1，解得y≥22，

所以y的最小值为22.

解法9 设x=cosα，x∈0，π[]2 ，y=3-x[]1-x2=3-cosα[]sinα=4tan2α[]2+2[]2tanα[]2=2tanα[]2+1[]tanα[]2≥22，当且仅当tan2α[]2=1[]2，x=cosα=1[]3时，取最小值22.

解题反思

1.引进变量，建构函数模型是解决该实际问题的基础.

2.利用一定的数学思想方法求解函数的最值是必备的基本技能.

3.能够运用常见的数学思想方法，将问题变形转化，有助于提高学生对数学问题的解决能力和整合数学知识和方法在头脑中的整体建构.