函数解析式常用求解方法

葛剑

【摘要】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.函数的解析式是用等式来表示两个变量之间函数关系的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域，定义域是使式子有意义的x的取值范围，同时也要注意变量的实际意义.本文主要帮助大家在深刻理解函数概念的基础上，掌握求解函数解析式的几种类型及常用方法，培养创新能力和解决问题的能力.

【关键词】解析式；定义域

例1 已知函数f（x+1）=x+2x，求f（x）.

解析 本题可以通过整体代换（配凑法）或换元法的方法来解决，令x+1=t（t≥1），解得x=t-1，x=（t-1）2，所以x+2x=（t-1）2+2（t-1），f（t）=（t-1）2+2（t-1），即f（x）=x2-1，一定不要忘记定义域{x|x≥1}.所以f（x）=x2-1，（x≥1）.事实上，已知复合函数f[g（x）]的解析式，求函数f（x）的解析式时，可用换元法来解决，若g（x）的解析式很简单或和等式右边解析式形式很相像时，可用整体代换（配凑法）的方法解决，如：已知fx+1[]x=x2+1[]x2，求函数f（x）的解析式，可用整体代换（配凑法）的方法得fx+1[]x=x+1[]x2-2，即f（x）=x2-2，x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）.

例2 （1）设f（x）是一次函数，且f[f（x）]=4x+3，求f（x）；

（2）设二次函数f（x）的最大值是13，f（3）=f（-1）=5，求f（x）的解析式.

解析 已知函数的类型（如一次函数、二次函数、反比例函数等），常用待定系数法求函数的解析式.根据函数的类型设出函数的解析式，然后根据条件求出待定系数.从而求得函数解析式.第（1）题可设函数的解析式为f（x）=kx+b，（k≠0），代入已知条件即可求出待定系数k=2，b=1或k=-2，b=-3.从而函数解析式为f（x）=2x+1或f（x）=-2x-3.第（2）题已知函数是二次函数，设法有三种，一般式f（x）=ax2+bx+c（a≠0），交点式f（x）=a（x-x1）（x-x2），（a≠0），顶点式f（x）=a（x-h）2+k，（a≠0），根据具体题目选择恰当的设法可简化计算.本题可设函数的解析式为f（x）=a（x-1）2+13，（a≠0），又f（3）=5，代入可求得参数a=-2.从而得函数解析式为f（x）=-2x2+4x+11.

例3 （1）已知函数y=x2+x与y=g（x）的图像关于点（1，0）对称，求g（x）的解析式；

（2）设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）=x2+x+2，求f（x）和g（x）的解析式.

解析 对于第（1）题可作如下思考：函数的解析式表示函数图像上任一点的坐标（x，y）的x，y间的关系，如果我们能够建立某一个未知函数图像上任一点的坐标（x，y）的x，y间的关系，就可以求出函数的解析式了，所以可以用轨迹法求函数的解析式.本题可设出所求函数g（x）图像上任一点的坐标（x，y），根据题意其关于点（1，0）的对称点（2-x，-y）在函数y=x2+x上，代入可得函数g（x）图像上任一点的坐标x，y间的关系式，即函数g（x）的解析式，g（x）=-x2+5x-6.

对于第（2）题可作如下思考：对于有特殊结构的方程（自变量互为倒数、互为相反及函数奇偶性等）求函数的解析式常用构造方程组方法求函数解析式，即抓住等式特征对等式进行赋值，以变量换变量又得到一个方程，联立得到方程组，通过解方程组求出解析式.本题可根据函数的奇偶性用-x替换方程中的x，可得方程f（x）-g（x）=x2-x+2，此方程与原方程f（x）+g（x）=x2+x+2联立可得关于f（x）和g（x）的方程组，用解方程组的方法求得f（x）和g（x）的解析式，f（x）=x2+2，g（x）=x.

变式 若f（x）=f（-x）x+10，求f（10）.

解析 令x=10，得f（10）=f（-10）×10+10；令x=-10，得f（-10）=f（10）×（-10）+10，联立方程消去f（-10），得f（10）=110[]101.

小结：

求解函数解析式的几种类型及常用方法有：换元法、整体代换（配凑法）、待定系数法、构造方程组等，特别值得强调的是求解函数的解析式一定要注明函数的定义域（定义域是R的除外），函数的定义域是函数解析式的一部分.

如果已知复合函数f[g（x）]的表达式求f（x）时，可用换元法，这时要特别注意新元的取值范围.如：已知f（1-cosx）=sin2x，求f（x）.用换元法求得f（x）=-x2+2x，注意定义域为[0，2].当已知表达式较简单时，也可用配凑法.若已知函数解析式的类型时，可用待定系数法.已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f（x），另外注意轨迹法在求对称曲线解析式中的运用.