不同结果是怎样产生的

杨云显

一、问题缘起

最近在引导学生应用数列性质解决问题的过程中涉及一道题的两种不同解法，感觉非常有道理有依据的两种思路方法在针对同一题目的解答中却产生了截然不同的结果，究竟错在哪里？错因是什么？怎样纠正？问题探究和解决的过程，看似曲折，却始终让人兴趣盎然，使师生在应用和实践中更加深了对数列知识的正确理解，促进了学生综合分析能力和应用能力的提高.

这个数列问题叙述如下：

设{a璶}，{b璶}均为等差数列，S璶，T璶分别为{a璶}，{b璶}的前n项和，且S璶T璶=7n+2n+3，试求a7b7的值.

这是一道考查数列公式和性质的经典题，大多数人习惯于使用以下第一种思路来解决.

先来看第一种方法思路的依据和证明：

等差数列性质1：m，n，p，q∈N*，若m+n=p+q，则a璵+a璶=a璸+a璹；

特别地，如果2m=p+q，则2a璵=a璸+a璹.（证明略）

等差数列性质2：若{a璶}，{b璶}均为等差数列，S璶，T璶分别为{a璶}，{b璶}的前n项和，则

a璶b璶=S2n-1T2n-1（n∈N*）.

性质2证明：ⅰ）若n=1，则a1b1=S1T1，显然成立；

ⅱ）当n≥2，n∈N*时，由性质1，2a璶=a1+a2n-1，2b璶=b1+b2n-1，所以

a璶b璶=2a璶2b璶=a1+a2n-1b1+b2n-1=2n-12a1+a2n-12n-12（b1+b2n-1）①， 因为等差数列前n项和公式为S璶=n（a1+a璶）2，所以

①式变为：a璶b璶=2n-12a1+a2n-12n-12b1+b2n-1=S2n-1T2n-1.

性质2的结论，当n为奇数时的证明，也可以采用将“S璶=na中” 这一等差数列和的性质逆向应用到上面比例式而得到结论的方法.

直接应用性质2就是解决上面例题的第一种方法思路：

因为S璶，T璶分别为等差数列{a璶}，{b璶}的前n项和，又S璶T璶=7n+2n+3，

所以a7b7=S13T13=7×13+213+3=9316.

再来看第二种方法思路的依据：

数列的基本性质：若S璶为数列{a璶}的前n项和，则a璶=S1，（n=1），S璶-S璶-1，（n≥2，n∈N*）.

根据上面数列的基本性质，可得到解决例题的方法思路2：

由基本性质a7=S7-S6，b7=T7-T6，

因为S璶T璶=7n+2n+3，设S璶=（7n+2）k，T璶=（n+3）k（k为非零常数），

则a7b7=S7-S6T7-T6=51k-44k10k-9k=7.

使用第一种思路方法得到a7b7=9316，使用第二种思路方法得到a7b7=7.

使用两种不同的方法解答却产生了不同的结果，问题究竟出在哪里？两种方法使用的依据都是正确的，按理两种思路方法都能够顺利进行下去并产生正确的结果.分析起来，肯定还是有一种思路方法的运用过程中出现了不易发觉的错误！

二、找出“美丽”错误，增进问题理解

首先，性质1和性质2是等差数列和的重要性质，是经过严格证明成立和认可的.第一种方法是使用性质2代入n=7直接得到结果，即a7b7=S13T13=7×13+213+3=9316，中间没有其他推理和变形，因此我们可以断定这种解答的结果是正确的.那就初步断定第二种思路方法得到的结果肯定是错误的！ 弄清错在何处和错误原因是我们希望研究清楚的问题.我们需要对使用第二种思路方法解答的每一步骤进行细致的分析！

对所有数列来说，若S璶为数列a璶的前n项和，则a璶=S1，（n=1），S璶-S璶-1，（n≥2，n∈N*），这个性质也是恒成立的，因此a7=S7-S6，b7=T7-T6的使用不存在任何问题.

这样，可供反思的环节就落在根据S璶T璶=7n+2n+3，设S璶=（7n+2）k，T璶=（n+3）k（k为非零常数）这个看似顺理成章的步骤上了.在解决有关比例问题的题目中，我们经常把比例式设为上述形式，例如“已知ab=35，求2a-b3a+2b的值”的问题中，我们就是设a=3k，y=5k（k≠0），代入目标式也就可以马上得到正确结果了.

因此， 由题意条件S璶T璶=7n+2n+3，设S璶=（7n+2）k，T璶=（n+3）k（k为非零常数）看起来顺理成章，剩下后面计算也没有错，这个解答似乎也没有什么问题！但是，在确信方法1正确的基础上，肯定是第二种的解答出现了问题，但究竟错在哪一步骤呢？找错似乎也不是一件简单的事，其实，本题第二种思路的解答过程中确实犯了一个隐蔽的“美丽”错误！

要找出其中的错误，我们有必要从等差数列的前n项和的特点说起：

若S璶为等差数列a璶的前n项和，a1为首项，d为公差，则S璶=n（a1+a璶）2=na1+n（n-1）2d.

由S璶=na1+n（n-1）2d，可得S璶=d2n2+a1-d2n，可以看出：S璶是关于变量n的不含常数项的二次函数.当然，也可以证明，S璶是关于变量n的含常数项的二次函数时，a璶不成等差数列（证明略）.

回归例题，已知S璶，T璶分别为等差数列{a璶}，{b璶}的前n项和，而S璶T璶=7n+2n+3，形式却是两个关于变量n的一次函数的比值，因此我们已经可以看出问题了，在第二种方法思路解答过程中，我们根据S璶T璶=7n+2n+3，设S璶=（7n+2）k，T璶=（n+3）k（k为非零常数），得到的两等差数列的前n项和S璶 ，T璶还是一次函数的形式，根本就不符合等差数列的前n项和的特点，结果出错也就在所难免了！

三、纠错使好方法变得完美，让研究者能力提升

单单找到了方法2致错的原因，还很不够，如果把这样的错误再直接归结为题目给出的信息不直接的话，则就更大错特错了，这就会失去很好的锻炼创新思维的机会，我们还应该找出正确的解决办法.

若S璶，T璶分别为等差数列{a璶}，{b璶}的前n项和，在S璶T璶=7n+2n+3形式下，能否有满足题意的S璶和T璶的二次形式存在？答案是肯定的！可以逆向将一次变为二次，使形式符合要求：

在已知S璶T璶的比例中，S璶=na1+n-12d1，T璶=nb1+n-12d2，可以看出，得到S璶T璶=7n+2n+3，比例是由n的二次之比变为一次之比，首先约去了变量n，又常数a1，d1以及b1，d2也可能出现相同的常数公约数，因此我们可以认为：分子分母约去了一个关于n的正比例系数kn（k为非零常数），这样可以设S璶=（7n+2）kn，T璶=（n+3）kn（k为非零常数），仍然使用上面的思路方法2来解决上面的例题.

a7=S7-S6=（7×7+2）·7k-（7×6+2）·6k=93k，

b7=T7-T6=（7+3）·7k-（6+3）·6k=16k，

所以a7b7=S7-S6T7-T6=93k16k=9316.

这样就得到和依据思路方法1相同的结果了. 因此，开始得到不同结果，既不是思路方法的问题，也不是题目自身的问题，还是解题过程我们不顾条件盲目套用公式导致矛盾的问题.