浅谈变式教学在高三数学复习中的应用

刘琳

高三的数学教学既要围绕着巩固基础、训练基本技能、掌握数学思想，又要培养学生的分析和解决问题能力.如何在比较紧的时间内，尽可能地提高复习效率和质量，从而提高学生分析和解决问题的能力呢？笔者在高三复习中，把互相关联的知识通过变式教学融合在一起，使学生深刻理解所学知识，识别问题的本质，从而有效提高教育教学质量.所谓变式教学，具体地说，就是对概念、性质、定理、公式以及数学问题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，使一题多解、一题多变、一法多题.下面谈谈变式的类型及其作用.

一、通过一题多变培养思维的深刻性，提高知识的深度

一题多变是在原题基础上进行变通推广，创设适当的变式，能让学生多角度地理解知识，掌握知识的外延与内涵，使其对知识能融会贯通.教师可通过改变例题中的一个条件、一个字、甚至一个标点符号，使原题意完全改变，打乱了学生的思维方式，让学生在“似曾相识”但却“似是而非”的问题中培养思维的深刻性，提高知识认识的深度.

例 解不等式：（x+3）（x-1）<0.设计下列的变式：

（1）解不等式：x+3[]x-1<0；（2）解不等式：x+3[]x-1<2；

（3）解不等式：x+3[]x-1≥2；（4）解不等式：x+3[]x-1≥2x；

（5）解不等式：x-a[]x-a2<0；（6）解不等式：a（x-1）[]x-2>1.

这些变式，由浅入深，环环相扣，强化了解法中的易错点，揭示出蕴含其中的转化、数形结合、分类讨论等数学思想方法，题量虽少，思维量却很大，提高了课堂的容量和复习的效率.

二、通过多题一解开拓学生的思维，增加知识的广度

在复习中将有关联的高考题以题组的形式出现，使学生的认识以思想方法为线索将不同知识联系起来，既达到数学思想方法的专项训练，又能贯通知识提高应试的能力.

例 （1）已知函数f（x）=x3-4x2-3x与函数g（x）=bx的图像恰有3个交点，求实数b的范围.（等价于方程﹛（x2-4x-3-b）=0恰有3个不等实根，转化为方程x2-4x-3-b恰有两个非零不等实根，运用二次函数知识解决）

（2）曲线f（x）=x3-x2-x+a与x轴仅有一个交点，求实数a的范围.（数形结合，转化为f（x）的极大值小于零或极小值大于零求解）

（3）使函数f（x）=-x2+8x与g（x）=6lnx+m的图像有且只有三个不同的交点.求出m的取值范围.（构造函数h（x）=x2-8x+6lnx+m与x轴有三个不同的交点，通过﹉（x）的极大值大于零且极小值小于零求解）

（4）设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）>0，ゝ（1）>0，求证：方程f（x）=0在（0，1）内有两个实根.（即证F（x）=ax3+bx2+cx在（0，1）内有一个极大值和极小值）

这组题可以让学生对导数的极值与单调性有更新的认识，在探究中对这类问题的处理方法有足够的认识，通过解一道题学会解一类题，达到举一反三、触类旁通的目的.

三、通过一题多解培养创新思维能力

著名数学家波利亚曾经说过，掌握数学就意味着要善于解题.一题多解的能力体现了学生对所学知识加以融会贯通的能力，体现了解题能力的强弱，是一种培养创新能力的重要思维方法而在复习中使用效果更佳.

例 已知a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求证：-1[]3≤c≤1.

根据问题的特征将式子转化为a+b=1-c，

a2+b2=1-c2，

让学生通过类比联想，得到了几种有代表性的解法：

（1）联想到运用基本不等式a2+b2[]2≥a+b[]2；

（2）联想到x+y=1-c，

x2+y2=1-c2，运用线性规划知识，求得c的范围；

（3）注意到-1≤a，b≤1，联想到三角换元，令a=1-c2cosθ，b=1-c2sinθ，由辅助角公式得到；

（4）由a+b=1-c，

ab=c2-c，

构造以a，b为根的一元二次方程，问题转化为方程在[-1，1]有根和分布等.

这些解法包含了对函数、三角函数、基本不等式、线性规划等知识的灵活应用，培养了学生的创新思维，提高了解决问题的创新意识.

四、通过学生自主变式发掘学习潜力

以课本的例题为基础，要求学生尽可能多的自己改变题目、题型，大胆创新，以一题之例知百题之解，开放式例题变式教学更能淋漓尽致地发挥学生的创新能力.如：

原题 过抛物线y2=2px（p>0）的焦点的一条直线和此抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求证：y1y2=-p2.

让学生根据这一条件，展开联想，得到：

求证：（1）x1x2=p2[]4；（2）AB=x1+x2+p=2p[]sin2θ，（θ为直线AB的倾斜角）；（3）S△AOB=p2[]2sinθ，（θ为直线AB的倾斜角）；（4）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切等等.

还让学生尝试着对命题“加、减、反、变”进行思考，又得到了：

（1）逆命题：一条直线与抛物线y2=2px（p>0）交于〢（x1，獃1），B（x2，y2）两点，满足y1y2=-p2或x1x2=p2[]4，则这条直线过此抛物线的焦点.

（2）设过M（a，0）（a∈R）的一条直线与抛物线y2=2px（p>0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1x2=a2，﹜1y2=-2pa.

（3）过抛物线y2=2px（p>0）焦点的一条直线和此抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC过原点.

总之，增值高三课堂复习效益，关键在于抓落实，如何以学生为主体，给学生提供一个思维平台，让他们都能动手动脑思考，使“双基”更加扎实，独立分析、解决问题能力得到充分发挥并有提高，变式就是一条有效的途径.