加法原理和乘法原理推进数学教学能力的培养

朱万喜

数学能力在形成人类理性思维的过程中发挥着独特的、不可替代的作用.高中数学的学习是一个发现新知识、巩固旧知识的长期积累过程.数学学科的特点是具有一定的逻辑性、抽象性和广泛的适用性，培养学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，同时运用所学知识发现问题、分析问题、解决问题、探索问题.

排列组合知识内容抽象，方法独特而且影响悠远，是进行思维训练和能力培养的绝好智能教材.加法原理和乘法原理是人们处理离散对象的计算原理.它像一条红线贯穿教材始终：从推导排列数，至组合数公式，至处理应用问题，至推导概率公式，至反复应用，最后到步步加深，这是一个循序渐进过程.要具备分析处理问题的实际能力，在教学和复习中就必须一切围绕对加法原理和乘法原理的理解和应用展开，在反复应用中加深理解，进而达到形成数学思想和提高学习能力的高度.

一、循序渐进，环环相扣

在加法原理和乘法原理的应用中安排了介绍原理、推理原理、解应用问题，必须使这几次循环每次都有所侧重，每次都有质的飞跃.侧重引导学生分清、分类与分步的区别和联系.加法原理需理解各类办法的互斥性，对乘法原理，明确各个步骤联系性，缺一不可是前提，重点强调对于完成上一步的任意一种方法，下一步都有同样多种方法，这才能用乘法原理.对应，应在每一个例题和练习中强调，让学生从开始就注意到应用两个原理的条件.

在导出排列数、组合数公式时，侧重于强调元素的互异性，从而使学生认识排列数、组合数公式应用的局限性；同时应用乘法原理说明两个公式间的内在联系，运用两分法，讲清组合数的两个性质公式.有比较才有鉴别.可以对比安排一些元素来重复排列、组合问题，可使学生加深对公式适用条件的印象，同时也有利于更进一步熟悉加法原理和乘法原理.如：（1）三封信投入四个信箱，有多少种不同投法？（2）某县使用7位电话号码，前两位都用2，其他各位不限，问该县最多可安多少部电话？（3）6名同学报名参加音乐、美术、体育三个课外兴趣小组，每人限报一个，有多少种报名方法？

在解应用题教学中重点集中在对加法原理和减法原理应用条件的理解和运用上.教材的例题和习题既典型又符合学生的认知水平，对它们应引导学生多问几个为什么，多从不同角度、不同方向去探索应用两个原理分析处理问题的方法，充分挖掘每个题目的不同解题方案.例如，从1，3，5，7，9中任取三个数，从2，4，6，8中任取两个数，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？若先选元素后排列为C35狢24狿55=7200（个）；若先选位子，即先从5个位子中选定了3个放奇数（或从5个位子中选2个排偶数），再分别选排元素则为C35 P35 P24（或C25 P24 P25）=7200（个）.

适当选择既典型又联系实际贴近生活且难易适中的课外练习题，引导学生自觉用两个原理去设计不同的解题方案.如3封信投4个邮箱，用乘法原理得43种投法固然简便，但若用加法原理，分成分别由一个、两个、三个邮箱去接受三封信这三大类，则得C14+C24狢23狿22+C34狿33=64（种）投法.又如，10 名划船运动员，其中5名擅长划左舷，3人擅长划右舷，另两个左右都行，今从10人中选6人均分到船的两舷，有多少种选法？首先确定划右舷的人，可以两个左、右舷都行的人不参与划右舷、有一个参与、两个人都参与分类，则得C33 C37+ C23 C12 C36+ C13 C22狢35=185（种）选法；若先定划左舷的人，则得C35狢35+ C25 C12 C34+ C15 C22 C33=185（种）选法.若先把划左、右舷都行的人安排后再选配其他人，则须分两人全安排、只排一人、两人全不安排三大类，其中第一类又分全在右舷、全在左舷、一左一右三小类，第二类又分一人安排在左舷或右舷两类，故共有（C22 C15 C33+ C22 C35 C13+ P22 C25 C23）+（C12 C25 C33+ C12 C35 C23）+ C35 C33=185（种）选法.此说明虽然都是加法原理，但分类的方案也可以是几种.利用这些融知识性、趣味性融一体的问题，引导学生摆脱死板的模式，设身处地用加法原理和乘法原理去设计解题方案，对于消除畏难情绪，提高解题能力大有裨益.

不同侧重点的讲解和应用，学生初步形成应用处理简单应用题的能力和归类、分步的数学思维雏形.

二、总结要点，培养能力

1.回顾教学过程，紧扣教材，理清思路前后贯通，使学生充分认识加法原理和乘法原理的纲领作用.如图所示.

2.围绕解应用题.加强对条件较复杂的题目的解题训练，提高应用两个原理的能力.（1）改造教材例题、习题，适当增加分类、分步难度，起到既复习又提高的作用.如由数字1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字的比50000大的自然数？或可组成多少个没有重复数字的比50000大的偶数？或可组成多少个没有重复数字的比50000大的能被3整除的五位数？（2）编选联系数学各科知识的习题，以互相渗透，综合提高.如，已知集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，a，b∈A，那么辐角大于π[]4的不同复数a+bi共有多少个？答案：P23-（C13+ C12+1）.（3）针对典型例题，倡导一题多解，并随时强调两个原理的应用和条件.

教师要根据学生的认知特点和学习基础，采用多样化的呈现方式，让学生营造生动有趣的数学课堂.通过知识的讲解揭示知识的过程，适时渗透数学思想方法；通过问题解决，突出和深化数学思想，展现数学方法的应用过程；通过复习构建知识网络，提炼、概括数学思想方法.教师在教学中要架起学生生活与数学的桥梁，针对性地选择适合学生基础与生活经验的内容制作数学应用题，从而促进学生有效的学习能力.