循环数中的卡普列加数

曾俊雄

【摘要】本文讲述了在循环数中寻找卡氏甲数，用循环数表达卡氏乙数的方法，给出了卡普列加数的周期循环变化规律，从而揭示了循环数的周期现象.

【关键词】卡普列加数；卡氏甲数；卡氏乙数；广义卡普列加数；循环数符号

如果既约真分数ba（分母a不含2及5的素因数）是一个可化为纯循环小数的分数，例如，59=0.5·，5[]11=0.4·5·，9[]11=0.8·1·，1[]7=0.1·42857·，那么5，45，81，142857等循环数与“卡普列加数”有关系吗？首先，我们来看“卡普列加数”的有关定义：

定义1 取一个任意自然数M，将其平方M2切为两半，并求其和M′.若M′=M，则M即为二阶卡普列加数或二阶卡氏甲数（简称卡氏甲数），M2的运算结果称为卡普列加平方数或二阶卡氏乙数（简称卡氏乙数）.

定义2 若（x）n或[x]n（x为正整数）表示把x重写n遍并串联在一起的n重数，则由重复数x组成的卡氏甲数[x]n称为以x为底数的n重卡氏甲数（简称n重卡氏甲数）.例如：

[（81）3]2=8181812=669420|148761，M′=669420+148761=818181=（81）3.

（为了说明方便起见，在中间插入一个竖记号|，表示前半部分与后半部分的界限）

显然，遵循“定义1”的思路，可以把“二阶卡氏甲数”推广到“三阶卡氏甲数”“四阶卡氏甲数”……（也叫作广义卡普列加数）.例如：

[（81）8]3=5477084898572500|2351615326821940|0353117956423741，

M′=5477084898572500+2351615326821940+0353117956423741=（81）8，

[（5）2]4=554=09|15|06|25，M′=09+15+06+25=55，

其中（81）8，55分别称为三阶、四阶卡氏甲数，[（81）8]3，554的结果分别称为三阶、四阶卡氏乙数.

其次，我们先来研究二阶卡氏甲数的求法.

巧求二阶卡氏甲数

如何求纯循环小数中以循环数为底数的n重卡氏甲数呢？首先，我们探讨纯循环小数的循环数.以17为例.重复应用普通的除法可得17=0.1·42857· 余3，2，6，4，5，1.下面列出b7（b=1，2，…，6）的余数和商：

其次，我们来求17的循环数142857的平方，并把平方的结果切成两半求和（简称循环和）：

1428572=020408│122449，020408+122449=142857.

再把循环和连续写两遍即142857142857，并把这个数分成6节（每两个数字分成一节），依次分别填入表一中的循环和中.

再次，如果循环和某一节中的两位数与对应的商的一个数字以及下一个数字组成的两位数相同，那么从这两位数开始的循环数，就是一重卡氏甲数.如表一循环和中的1·4·与对应的商数是1及下一个商数是4，那么从14开始的循环数142857就是一重卡氏甲数，并把“1”填在表一n中的对应位置.

最后，余数从“1”开始，按顺时针方向把余数1，3，2，6，4，5围成一圈（如图1），

图 1然后从“1”开始，按逆时针方向顺序依次可得到6个数（简称反向排列）为1，5，4，6，2，3，并把后5个数依次填在表一n中的对应位置上.这样，由表一可得到另外5个卡氏甲数，如n=4对应的商数c=285714，则（285714）4就是卡氏甲数.所以，由表一可依次得到6个卡氏甲数：（142857）1、（428571）5、（285714）4、（857142）6、（571428）2、（714285）3.

由于大部分的既约真分数b[]a的循环节长度比较长，循环数书写起来很不方便，所以本文规定：循环数符号b[]aλλ表示b[]a的循环节长度表示既约真分数b[]a的最小循环数.例如，由于2[]7=0.2·85714·的循环数是285714，循环节长度为6，则循环数符号2[]7λ=6表示的数为285714，即2[]7λ=6=285714.引进了“循环数符号”后，前面所求的6个二阶卡氏甲数可以简写为：1[]7λ=6

当a-1[]2<λ≤a-1，即λ=φ（a）时，既约真分数b[]a只要构造一个余数、商数表就能求出b[]a的所有循环数.这样，利用上面的方法就可以求出n重卡氏甲数baλn中的b值及n值.当然，搜求卡氏甲数的最主要方法是利用同余式.如911的循环数是81，由同余式81×3≡1（mod11），可得卡氏甲数（81）3.既然利用上面的方法可以独立求出卡氏甲数，那么这个卡氏甲数所对应的卡氏乙数能否独立求出吗？

6等都是卡氏甲数，那么如何求出它们的卡氏乙数呢？卡氏甲数与卡氏乙数有什么关系呢？我们先来研究（57）λ=63即（714285）3所对应的卡氏乙数：

经过计算，可得等式一：[（714285）3]2=510204081632653060204081632653061225.不妨，把这种表达式称为卡普列加数的一般表达式（以下同）.而2549m=18=510204 081632 653061比卡氏乙数的前半节多1，1049m=18=204081 632653 061224比卡氏乙数的后半节少1.所以等式一可简洁表达为等式二：57λ=632=2549m=6×3-11049m=6×3+1.不妨，把这种表达式称为卡普列加数的混循环数表达式（以下同）.这时混循环数表达式等价于一般表达式.如果把等式二中的前半节减去1和后半节加上1省略不写，就可得近似的等式：57λ=632=2549m=6×31049m=6×3.不妨把这种表达式称为卡普列加数的纯循环数表达式（以下同）.不难发现，近似等式左边的分数57和右边的两个分数2549，1049的关系为：57=2549+1049，即1049=57-572，而5[]7恰好是卡氏甲数57λ=63中底数中的分数.

所以，可以用下面的方法求二阶卡氏甲数（ba）λn所对应的卡氏乙数，即求baλn2的值：

（1）由ba=ba2+ba-b2a2，即ba=b2a2+ab-b2a2，可得卡普列加数的纯循环数表达式：baλn2=b2a2m=nλab-b2a2m=nλ.

（2）由（1）得卡普列加数的混循环数表达式：

baλn2=b2a2m=nλ-dab-b2a2m=nλ+1（其中1是定值，d是常数），由卡普列加数的定义知b2a2m=nλ-d+ab-b2a2m=nλ+1=baλn，再把b2a2m=nλ，ab-b2a2m=nλ，baλn展开代入这个等式，就可以确定d的值（一般d为0或1或2）.

（3）由（2）可以把卡普列加数的混循环数表达式转化为一般表达式.

例 求卡氏甲数[（47）λ=6]2所对应的卡氏乙数.

解 （1）由47=4272+7×4-4272即47=1649+1249，得纯循环数表达式：47λ=622=1649m=6×21249m=6×2.

（2）因为1649m=12=326530 012244其中1649m=12表示1649λ=42中循环数前面的12位数，以下同，（1249）m=12=244897 959183 ，47λ=62=（571428）2=571428571428.

再把上面的展开式代入等式：

1649m=12-d+1249m=12+1=47λ=62，得d=0，

所以，混循环数表达式为：（47）λ=622=1649m=121249m=12+1.

（3）由（2）即得一般表达式为

[（571428）2]2=5714285714282

=326530 612244 244897 959184.

可见，只要知道以循环数为底数的卡氏甲数，就一定可以准确地求出它对应的卡氏乙数.当然，还可以利用循环和求出三阶、四阶……n阶卡普列加数.下面给出4个广义卡普列加数的循环数表达式（其中（1）（2）等价于一般表达式，即准确表达式）：

（1）19λ=1803=1[]729m=8070[]729m=8010[]729m=80.

（2）27λ=6453=8343m=6×455343m=6×4585343m=6×45.

（3）59λ=17284=6256561m=7288436561m=72818666561m=7283116561m=728.

（4）59λ=11425=312559049m=142285459049m=142·1488959049m=142966759049m=142227059049m=142.上面，列举了三阶、四阶、五阶的卡普列加数，那么，到底卡普列加数有几阶呢？从下面的卡普列加数三角形表可以看出至少存在10阶以19的循环数1为底数的卡普列加数.

表二 卡普列加数三角形

说明 （1）此表与杨辉三角形有类似之处，杨辉三角形中间的数，等于与上一行相邻两个数的和，而卡普列加数三角形中间的数，则等于与上一行相邻两个数的差（后数减前数），每一行第一个数都是1，从第二行开始，每一行最后一个数分别是9，92，…，910的值，并且从第三行开始，以最后一个数作为前面各数的分母求和，其和都等于1[]9.如，由第三行可得等式一：181+881=19，由第四行可得等式二：1729+7729+73729=19……

（2）由第三行可得二阶卡普列加数：19λ=19+12=181λ′=90881λ′=91，这个等式中的分数就是等式一中的分数.又因为19λ=1=1，181λ′=9=012345679，881λ′=9=098765432，

所以这个等式可化为一般表达式（以下同）：1102=012345679 0 098765432 1.

同理，由第四行、第五行……第十行、第十一行分别可得下面的3阶、4阶……9阶、10阶卡普列加数：

19λ=181+13=1729λ′=8107729λ′=81073729λ′=811，

19λ=1729+14=16561λ′=729066561λ′=7290666561λ′=72906566561λ′=7291，

……

19λ=198+19=199λ′=980199λ′=980…3874204999λ′=981，

19λ=199+110=1910λ′=990（0）990…34867845910λ′=990348678440910λ′=991.

当然，由上面的等式还可以得到卡普列加数周期循环变化规律的等式（猜想），如：

19λ=181k+13=1729λ′=81k07729λ′=81k073729λ′=81k1（其中k为正整数）.

仿照表二可以看出至少存在（p+1）阶以1p（p为素数）的循环数为底数的卡普列加数.

虽然，不是所有的循环数，都可以找到卡普列加数，但大多数循环数都可以找到卡普列加数.因为卡普列加数是乘方运算中的特例，并且卡普列加数比素数多得多.当我们求出了内循环卡氏甲数（指没有出现周期变化规律的卡氏乙数所对应的卡氏甲数），那么可根据卡普列加数的周期循环变化规律，求出它的外循环卡氏甲数.下面给出卡普列加数的周期循环变化规律（猜想）：

如果baλnm（m，n是正整数，λ是循环节长度）的纯循环数表达式：

baλnm（n

例如，等价于一般表达式的纯循环数表达式：

29λ=1233=8729i=23101729i=2353729i=23，

な侨阶卡普列加数表达式，其中8729+101729+53729=29，根据周期循环变化规律可猜想：

29λ=181k+233=8729λ′=81k8729i=23101729λ′=81k101729i=2353729λ′=81k53729i=23，也是三阶卡普列加数表达式.当k=1时，上面的等式就是：

29λ=181+233=8729λ′=818729i=23101729λ′=81101729i=2353729λ′=8153729i=23，

这个等式经检验是成立的，并且是三阶卡普列加数表达式.

绝大部分的卡普列加数都可以在循环数中找到.可见，循环数与卡普列加数是息息相关的.不但卡氏甲数出现了周期性的变化规律，而且卡氏乙数也出现了周期性的变化规律.最后，让我们一起来继续探讨循环数、卡普列加数的周期现象及其他方面的应用吧！

【参考文献】

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[2]闵嗣鹤，严士健编.初等数论.北京：高等教育出版社.

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